|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второгопорядка с постоянными коэффициентами Если , то уравнение будет иметь вид: и называться линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Это уравнение может быть приведено к виду Общее решение этого уравнения определяется формулой где - общее решение соответствующего однородного уравнения , а - частное решение исходного уравнения . В простейших случаях, когда функция является показательной, или многочленом, указанное частное решение находится с помощью метода неопределенных коэффициентов. 1. Если где - постоянные, то частное решение ищут в виде , когда не является корнем характеристического уравнения или в виде , когда - простой корень характеристического уравнения, или , когда - кратный корень указанного уравнения. 2. Если где - постоянные, то частное решение ищут в виде , когда , и в виде , когда . 3. Если , где - многочлен степени , то частное решение дифференциального уравнения ищут в виде в случае, когда , и в виде , когда , .
Пусть дано неоднородное уравнение правая часть которого есть сумма двух функций и . Если является частным решением , а - частным решением , то - частное решение .
Пример. Проинтегрировать уравнение . Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой . Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения. Так как в данном случае (т.е. имеет вид где , ) и не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде . Найдя производные этой функции и , и подставляя выражения для , в исходное уравнение, получаем . Так как - решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всех , т.е. является тождеством: откуда . Следовательно, частное решение имеет вид . Соответственно, общее решение . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |