АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. I Классификация кривых второго порядка
  3. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  4. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  5. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  6. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  7. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  8. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  9. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  10. V2: Применения уравнения Шредингера
  11. V2: Уравнения Максвелла
  12. VI Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее производную. Если - функция независимой переменной , то в общем виде уравнение записывается так:

Если это уравнение разрешимо относительно , то

откуда , или, в более общем виде

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , обращающая уравнение в тождество. В случае, если эта функция задана в неявном виде, решение называют интегралом. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , где - произвольная постоянная, обращающая данное уравнение в тождество.

Общее решение , заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.

Геометрически общее решение (или общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра .

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении : , где - число. Аналогично определяется частный интеграл .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию при . Другими словами, найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку .

В каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение. Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственное ли оно.

Для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно форме

задача Коши имеет решение и при том единственное для любой точки , если заданная функция непрерывна вместе со своей частной производной .

 

3. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида

где - функции только , - функции только .

Предположив, что и и разделив уравнение на это произведение получим уравнение:

которое называют уравнением с разделенными переменными. Оно имеет общий интеграл

Корни уравнений , являются решениями исходного дифференциального уравнения.

Первое слагаемое есть функция только от , второе слагаемое - только от , поэтому можно записать

,

Или .

Пример. Решить дифференциальное .

Приведем это уравнение к виду, с разделенными переменными

,

Отсюда

.

Проинтегрируем, получим .

Отсюда .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)