Линейная свертка

Пусть даны две апериодические последовательности {s(n)} длины L и {h(n)} длины M. В силу апериодичности s(n) = 0 при L-1<n<0; h(n) = 0 при M-1< n < 0. Апериодическая или линейная свертка этих последовательностей имеет длину L +M -1 и определяется как

(5)

Это выражение можно записать и в матричной форме. Например, для M=L=N получим

В большинстве алгоритмов вычисления свертки входная последовательность {h(l)} делится на последовательные блоки по N отсчетов и {y(n)} вычисляется как сумма линейных сверток каждого из этих блоков с L – точечной последовательностью {s(l)}.

Используя понятия алгебры полиномов, представим исходные последовательности в виде полиномов от некоторой переменной z:

(6)

Произведение этих полиномов дает полином y(z) степени L+M-1:

(7)

Коэффициенты y(n) полинома y(z) образуются суммированием всех произведений h(l)s(m), для которых l+m=n. Следовательно, m =n - l и

(8)

что дает значения свертки. Таким образом, свертка двух последовательностей может рассматриваться как произведение двух полиномов.

Пример 5.1. Для трехточечных последовательностей

{s(n)}={s(0), s(1), s(2)} и {h(n)}={h(0), h(1), h(2)} получим:

где коэффициенты полинома y(z) равны

Эти коэффициенты можно получить и из матричной записи.

Поиск по сайту: