Задачи на собственные значения

Основные определения и свойства

1.

Определение. Собственным значением или числом квадратной матрицы А называется такое число λ, что для некоторого ненулевого вектора х ≠ 0 выполняется равенство

Ах = λх. (1)

Определение: любой вектор х ≠ 0 соответствующий некоторому собственному значению и удовлетворяющий (1) называется собственным вектором.

По соответствующей теореме линейной алгебры система линейных однородных уравнений

(А – λ Е) = 0

имеет нетривиальное решение, тогда и только тогда, когда определитель

│А – λ Е│ = 0

Раскроим определитель, получим характеристический многочлен (полином)

Корни характеристического многочлена P(λ) есть собственные значения λ, их количество равно n, коэффициенты характеристического полинома есть

а остальные коэффициенты - р_к суть взятые со знаком (-1)^k суммы всех миноров определителя матрицы А порядка k, опирающихся на главную диагональ.

С другой стороны, согласно обшей теореме Виета, имеем

Непосредственное вычисление коэффициентов р_i является громоздкой задачей, требует большого числа операций при вычислении многочисленных миноров, поэтому существуют специальные вычислительные приемы, упрощающие численное решение поставленных задач.

Собственные значения вычисляются затем по какому-либо методу для приближенного вычисления корней полинома. Одним из универсальных является метод Ньютона. Последовательность приближений к начальному значению корня λ₀ вычисляется по формуле:

, i=1,2,…,

Согласно определению вектор отвечающий некоторому собственному значению и удовлетворяющий уравнению называется собственным. Имеем в развернутом виде:

На практике при нахождении собственного вектора полагают одну из компонент вектора равной единицы.

Пример:

Для

=> , - собственный вектор.

Для λ₂=5

=> - собственный вектор.

Таким образом, вычисление коэффициентов р_i и корней λ (собственные значения) характеристического уравнения и соответствующих им собственных векторов составляют полную проблему собственных значений. Методы решения этой группы, как правило, точные.

Частичная проблема собственных значений – это нахождение одного или нескольких собственных значений. Методы решения этой группы, как правило, итерационные методы.

2.

Если А = А^т (симметричная матрица), то:

- собственные значения матрицы действительны;

- соответствующие им собственные вектора ортогональны

.

3.

Сопровождающая матрица (Фробениуса) имеет следующий вид:

Характеристическое уравнение матрицы С совпадает с характеристическим уравнение матрицы А (исходной).

4.

Преобразование подобия.

Матрицы А и В называются подобными, если существует такая матрица С и ей обратная С^-1, что А = С^-1ВС.

А и В имеют одинаковые характеристические полиномы:

.

Относительно собственных векторов имеем

, ,

,

Cx – собственные векторы матрицы В.

5.

Каждая симметричная матрица подобна диагональной D = C^-1SC.

6.

Каждая матрица с действительными собственными значениями подобна треугольной.

7.

Собственные числа диагональной матрицы равны их диагональным элементам

Поиск по сайту: