Метод Данилевского

Метод заключается в нахождении коэффициентов характеристического многочлена. В основе метода лежит преобразование подобия А=В^-1СВ.

Суть метода состоит в преобразовании определителя D(λ)=|А-λЕ|= 0 к виду

Определитель легко раскрывается по первому столбцу . Рассмотрим алгоритм метода на примере матрицы третьего порядка . Сведем её (матрицу) к виду .

1. Делим элементы второго столбца на а₃₂ ≠ 0 (для общего случая делим предпоследний столбец на элемент этого столбца последней строки).

2. Из первого и третьего столбцов вычитаем второй столбец, умноженный соответственно на а₃₁ и а₃₃

.

Этот процесс эквивалентен умножению исходной матрицы справа на следующую матрицу:

Чтобы получить матрицу, подобную исходной мы должны слева умножить на обратную:

.

При этом получим

4. На следующем этапе преобразуем вторую строку путем умножения слева и справа на соответствующие матрицы:

Мы свели матрицу за два шага к форме , т.е. пришли к нормальной форме Фробениуса. В общем виде для матриц n порядка . Поскольку первая строчка в преобразованной матрице суть коэффициенты характеристического полинома, то теперь можем перейти к нахождению собственных чисел (корни характеристического полинома) и соответствующих им собственных векторов.

Предположим мы нашли собственные значения матрицы С и пусть y соответствующий собственный вектор Cy = λy. Тогда , следовательно By – собственный вектор матрицы А. Распишем матричное уравнение Cy = λy

Полагая имеем . Следовательно - собственный вектор для матрицы С. Умножим B на y получим By – собственный вектор матрицы А.

В общем виде алгоритм имеет n-1 шагов. На к- шагепроизводятся следующие действия:

1. Элементы (к-1) - столбца делятся на a_k,k-1
2. Элементы остальных столбцов преобразуются по формулам (из j -столбца вычитается (k-1) -столбец, умноженный на a_k,j) a_{i,j =} a_i,j - a_i,k-1 a_k,j

Метод Леверье и видоизменение Д.К. Фадеева

Метод заключается в нахождении коэффициентов характеристического многочлена.

По теореме Виетта в общем виде связь между корнями и коэффициентами полинома

Введем в рассмотрение следующие функции:

. Можно показать, что .

Воспользуемся известными рекуррентными соотношениями Ньютона:

,

Отсюда

Пример. Пусть k=2, n=3

Можем определить из рекуррентного соотношения коэффициенты , если известны s_k (s_k равны следу матрицы A^k), но при этом приходится возводить матрицу A в степень, а это процесс трудоемкий. Метод используется для матриц небольшого размера, хотя он мало чувствителен к частным особенностям матрицы.

Д. К. Фадеев усовершенствовал метод Леверье. Вместо возведения матрицы в степень предложено считать матрицы по следующим формулам (без доказательства):

, , ;

, , ;

……………………………………………………………….

, , ;

, ,

Матрица является союзной (присоединенной) матрицей, она состоит из алгебраических дополнений к матрице А.

Можно показать, что , тогда и подставляем в , тогда . Метод Фадеева позволяет найти обратную матрицу и её определитель.

При доказательстве этого метода используются рекуррентное соотношение Ньютона и теорема

Кели-Гамильтона.

Теорема Кели-Гамильтона. Если есть характеристический многочлен матрицы А, то , т.е. матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Пример:

Можно проверить, что .

Нахождение собственных векторов по методу Д.К. Фаддеева.

Раскрытие характеристического полинома для трехдиагональной матрицы

Симметричную матрицу с помощью преобразования подобия можно привести к трехдиагональному виду.

Для нахождения собственных значений приравниваем нулю определитель

Раскрываем этот определитель по элементам последней строки

(1)

Так как минор имеет следующий вид:

,

раскладываем последний минор по последнему столбцу и подставляем в D_n.

Таким образом, для нахождения собственных значений трехдиагональной матрицы используется рекуррентное соотношение (1).

Полагая (значение определителя не изменится), имеем уравнения

, корни которых и есть собственные значения трехдиагональной матрицы.

Поиск по сайту: