АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод вращения (Якоби)

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  3. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  6. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  7. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  8. I. Методические основы
  9. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  10. I. Организационно-методический раздел
  11. I. Предмет и метод теоретической экономики
  12. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.

Основан на вращении системы координат в n -мерном пространстве.

Матрица вращения имеет вид:

, при этом выполняется С2+S2=1,C=cos α, S=sin α.

Цель метода – найти такие вращения, которые обращают определенные элементы исходной матрицы в ноль.

Замечание. Любую симметричную матрицу можно привести к трехдиагональному виду путем цепочки преобразования подобия с матрицей вида Pij, k=1,…,n. Указанный процесс можно применить и к несимметричной матрице, при этом получится почти треугольная матрица.

Процесс преобразования исходной матрицы путем элементарного вращения на любом k –шаге можно представить в виде рекуррентного соотношения , k=1,2,…

1 шаг: Вычислим . При этом отличными являются элементы, стоящие в i и j -столбцах

, k=1,2,…,n.

2 шаг: отличными являются элементы, стоящие в i и j - строчках

, k=1,2,…,n.

 

Неопределенными параметрами являются C и S, но они связанны соотношением С2+S2=1.

Недостающее одно уравнение получаем из условия обращения в ноль некоторого элемента матрицы А, в общем случае алгоритм представляет последовательное обращение всех ненулевых элементов, лежащих вне трех диагоналей исходной матрицы.

 

3 шаг:

После соответствующих алгебраических преобразований, получим , для определенности считают .

Можно показать, что в построенном процессе все внедиагональные элементы становятся сколь угодно малыми при достаточном числе подобных итераций. Собственными векторами являются столбцы матрицы .

 

Пример. Симметричную трехдиагональную матрицу свести путем подобных преобразований к диагональной. При этом на диагонале получим собственные значения. Обнулим a12.

Исходная матрица А0 = .

 

Матрица подобия .

 

 

При этом элементы a12 =a21 = 2SC-C2+S2-2CS=0, C2=S2. Учитывая основное тригонометрическое соотношение, получаем , угол равен α = π/4.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)