Приклади доведення тригонометричних тотожностей

№1. Довести наступні тотожності: sin² 13⁰+ cos² 13⁰ =1;

sin² 99⁰+ cos² 99⁰ =1

Ці тотожності доводяться згідно з основною тригонометричною тотожністю, оскільки значення аргументу для двох функцій є однаковим.

Використані формули: В.1.

№2. Довести тотожність sin⁴ α – cos⁴ α = sin² α – cos² α.

Використовуємо формулу різниці квадратів двох чисел (див. додаток Б), отримуємо:

sin⁴ α – cos⁴ α = (sin² α + cos² α) (sin² α – cos² α).

Але sin² α + cos² α = 1 (за В.1), тому

sin⁴ α – cos⁴ α = sin² α – cos² α (ліва частина дорівнює правій частині), що і треба було довести.

Використані формули: Б.5, В.1.

№3. Довести тотожність

sin (³/₂ π + α) + cos (π - α) = cos (2 π + α) - 3sin (^π/ ₂ - α)

Розглянемо ліву частину виразу (надалі- л. ч.)

sin (³/₂ π + α) + cos (π - α) = – cos α – cos α = – 2 cos α (за 27ф.);

Розглянемо праву частину (пр. ч.)

cos (2 π + α) – 3sin (^π/ ₂ – α)= cos α – 3 cos α = – 2 cos α (за 27ф.).

Бачимо, що спрощені вирази л. ч. і пр. ч. однакові (А=С, В=С, в даному випадку С= – 2 cos α),отже тотожність доведена.

Використані формули: В.27.

№4. Довести тотожність sin⁴ α + cos⁴ α – 1 = –2 sin² α cos² α.

Доведемо, що різниця між л. ч. й пр. ч. дорівнює нулю.

(sin⁴ α + cos⁴ α – 1) – (–2sin² α cos² α) = (sin⁴ α + 2sin² α cos² α + +cos⁴ α) –1 = (sin² α + cos² α)² –1 = 1 – 1 = 0

Отже А – В=0. Тотожність доведена.

Одну й ту ж саму тотожність можна доводити різними способами. Доведемо її першим способом, тобто покажемо рівність лівої та правої частин тотожності.

sin⁴ α + cos⁴ α – 1 = sin⁴ α + cos⁴ α – (sin² α + cos² α ) = sin² α ·

· ( sin² α – 1)+ cos² α · ( cos² α – 1) = sin² α · (– cos² α) + cos² α ·

· ( –sin² α)= –2 sin² α cos² α. Тотожність доведена.

Використані формули: Б.1, В.1.

№5. Довести тотожність

Цю тотожність можна розглядати як пропорцію a/b =c/d. Отже необхідно довести, що ad=bc. Доведемо, що

(1 – sin α) (1+ sin α) = cos α · cos α.

Дійсно, (1 – sin α) · (1 + sin α) = 1 – sin² α = cos² α (з основної тригонометричної тотожності).

Доведемо цю саму тотожність, довівши, що різниця правої та лівої частин дорівнює нулю.

= . Тотожність доведена.

Використані формули: Б.5, В.1.

№6. Довести тотожність:

(3 sin α + 2 cos α)² + (2 sin α – 3 cos α)² = 13

Розглянемо л. ч.

(3 sin α + 2 cos α)² + (2 sin α – 3 cos α)² = 9 sin² α + 12 cos α sin α + +4 cos² α + 4 sin² α – 12 cos α sin α + 9 cos² α= 13 sin² α+13 cos² α= = 13 (sin² α + cos² α)= 13 · 1 = 13. Л. ч. дорівнює пр. ч., отже тотожність доведена.

Використані формули: Б.1, Б.2, В.1.

№7. Довести тотожність (1 – cos х) · (5 + 5 cos х) = 5 sin² х

(1 – cos х) · (5 + 5 cos х) = (1 – cos х) · 5 · (1 + cos х) =

=5 (1– cos² х)= 5 sin² х. Тотожність доведена

Розглянемо іншій спосіб доведення, розкриємо дужки.

(1 – cos х) · (5 + 5 cos х) = 5 + 5 cos х – 5 cos х – 5 cos² х =

= 5 – 5 cos² х = 5 (1– cos² х)= 5 sin² х.

Використані формули: Б.5, В.1.

№8. Довести тригонометричну тотожність

sin³ α (1 + ctg α) + cos³ α (1 + tg α) = sin α + cos α

sin³ α (1 + ctg α) + cos³ α (1 + tg α) = sin³ α (1 + ) +

+ cos³ α (1 + ) = sin³ α · + cos³ α · · = sin² α · (sin α + cos α) + cos² α · (sin α + cos α) = (sin α + cos α) · (sin² α + cos² α)= (sin α + cos α) · 1= sin α + cos α

Використані формули: В.2, В.3, В.1.

№9. Довести тотожність

Використані формули: Б.6, В.1.

№10. Довести тотожність, використовуючи періодичність тригонометричних функцій

Використані формули: період функцій синуса та косинуса складає 2π, тангенса та котангенса π.

№11. Довести тотожність

Л. ч.

= sin² 3α · cos² 3α

Пр. ч.

= sin² 3α · cos² 3α = sin² 3α · cos² 3α

Ліва частина дорівнює правій частині, отже тотожність доведена

Використані формули: періодичність функцій, В.4, В.5, В.15.

№12. Довести тотожність

=

Використані формули: В.13, В.2.

№13. Довести

Розглянемо ліву частину: =

Використані формули: В.1, В.2.

№14. ctg² (2π+α) sin (π+α) cos (π/2+α) = cos² α

ctg² (2π+α) sin (π+α) cos (π/2+α) = ctg² α · (– sin α) · (– sin α) =

=

Використані формули: В.27, В.3.

№15. Довести тотожність ctg² t · (1– cos 2 t) + cos ² t = 3 cos ² t.

ctg² t · (1– cos 2 t) + cos ² t = ctg² t · (1– cos ² t + sin² t) + cos ² t =

= ctg² t · (sin² t + sin² t) + cos ² t= + cos ² t =

= 2 cos ² t + cos ² t= 3 cos ² t

Використані формули: В.16, В.1, В.3.

№16. Довести cos 4 · cos 6 – sin 1 · sin 3 = cos 7 · cos 3

Доведемо, що різниця між лівою та правою частинами рівна нулю. cos 4 · cos 6 – sin 1 · sin 3 – cos 7 · cos 3 = = = =

Використані формули: В.25, В.23.

№17. Довести

Л. ч.:

Пр. ч.:

Тотожність доведена

Використані формули: В.7, В.8, В.19, В.15.

Завдання для самоперевірки

1. cos² α – cos⁴ α + sin⁴ α = – cos² α · cos 2α

2.

3. cos² (π –α)tg (π + α) tg (3π/2– α) + sin (2π – α) cos (π/2 + α)=1

4. ctg² t · sin² t + tg² t · cos² t = 1

5.

6.

7.

8.

9. ctg² α –1 =

10. (sin α –sin β) (sin α +sin β) = sin (α – β) sin(α+β)

11. sin³ α · cos α + sin α · cos³ α = 0,5 sin 2α

12. sin ( + α) = cos ( – α)

13. cos α · cos β · (tg α +tg β) = sin (α + β)

14.

15.

16. sin ⁴ α – sin ² α = cos⁴ α – cos² α

17. (cos α + cos β)² + (sin α + sin β)² = 4 cos²

18. (cos α – cos β)² + (sin α – sin β)² = 4 sin ²

19.

20.

Поиск по сайту: