Свойства функций одной переменной

Теория теоретическая

Функции одной переменной

Задача оптимизации, в которой характеристическая мера задана функцией одной переменной, относится к наиболее простому типу оптимизационных задач. Тем не менее, анализ задач такого типа занимает центральное место в оптимизационных исследованиях как теоретической, так и практической направленности. Это связано не только с тем, что именно такие задачи обычно решаются в инженерной практике, но и с тем, что одномерные методы оптимизации часто используются для анализа подзадач, которые возникают при реализации итеративных процедур, ориентированных на решение многомерных задач оптимизации. Важность теоретических и прикладных оптимизационных задач с одной управляемой переменной обусловила разработку большого числа алгоритмов их решения. Классификация методов решения одномерных задач по существу основывается на различных предположениях и допущениях относительно природы и свойств функции f(х).

Свойства функций одной переменной

Согласно наиболее простому определению, функция f(х) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению х поставить в соответствие единственное значение у=f(х). В этом случае х носит название независимой переменной, а у — зависимой переменной. Рассмотрим множество S Ì R, где R — множество всех действительных чисел. Мы можем определить соответствие (или преобразование), с помощью которого каждой точке хÎ S приписывается единственное числовое значение. Такое соответствие называется скалярной функцией f, определенной на множестве S.

Когда множество S=R, мы имеем дело со всюду определенной функцией одной переменной. Если S есть некоторое подмножество множества R, то функция f определена в ограниченной области. Например,

f(х)=х ³ + 2 х ² —х+ 3для всех х Î R

есть всюду определенная функция, тогда как функция

f(х)=х ³ + 2 х ² —х+ 3для всех х Î R = {х | — 5≤ х ≤5 }

определена в ограниченной области. В теории оптимизации f называется целевой функцией, а S — допустимой областью, множеством точек, удовлетворяющих ограничениям, или областью допустимых значений х.

Ряд физических процессов можно описать (или построить модели этих процессов) с помощью непрерывных функций, т. е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке х, принадлежащей областям их определения. Однако в инженерных приложениях нередки и такие случаи, когда приходится использовать разрывные функции.

Например, если мы строим график функции, которая измеряет затраты на сообщение некоторой системе количества тепла, равного 1 БТЕ (Британская тепловая единица; 1 БТЕ = 252 кал,— Прим. перев.), при различных температурах системы, то в результате получаем кусочно-непрерывную кривую, изображенную на рис. 2.1. Затраты описываются разрывной функцией температуры системы; однако температура системы может принимать все значения в диапазоне от 200 до 3000 градусов по шкале Фаренгейта.

Разумеется, не всегда необходимо, чтобы область допустимых значений независимой переменной х содержала все действительные числа из рассматриваемого интервала. Вполне возможны случаи, когда переменная принимает только дискретные значения. Например, если мы строим график функции, представляющей зависимость стоимости погонного фута трубы от ее диаметра, то естественно ограничиться лишь последовательностью точек, изображенных на рис. 2.2, поскольку количество установленных размеров выпускаемых промышленностью труб конечно.

Примечание. Важно иметь в виду, что непрерывные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма или произведение непрерывных функций является непрерывной функцией;

2) отношение двух непрерывных функций является функцией, непрерывной во всех точках, в которых знаменатель отношения не обращается в нуль.

Очевидно, что в зависимости от того, является ли исследуемая функция непрерывной или разрывной, а также в зависимости от структуры допустимой области для реализации процедуры поиска точек оптимума функции следует использовать различные методы. Необходимо отметить, что метод, эффективный при анализе непрерывных функций, может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается.

В дополнение к перечисленным выше свойствам можно также классифицировать функции в соответствии с их формой, определяющей топологические свойства функций в рассматриваемом интервале.

Монотонные функции. Функция f(х) является монотонной (как при возрастании, так и при убывании), если для двух произвольных точек х ₁ и х ₂, таких, что х ₁ ≤ х ₂, выполняется одно из следующих неравенств:

f(х ₁ ) ≤ f (х ₂ ) (монотонно возрастающая функция),

f(х ₁ ) ≥ f (х ₂ ) (монотонно убывающая функция).

На рис. 2.3 представлен график монотонно возрастающей функции, а на рис. 2.4 — график монотонно убывающей функции. Заметим, что монотонная функция не обязательно должна быть непрерывной. На рис. 2.5 изображен график функции, которая монотонно убывает при х≤0 и монотонно возрастает при х≥0. Функция достигает своего минимума в точке х=х* (начале координат) и монотонна по обе стороны от точки минимума. Такие функции называются унимодальными.

Поиск по сайту: