|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
Имеем две задачи:
Системы и – пара симметрических двойственных задач. Из одной задачи всегда можно получить другую задачу.
Правила построения двойственной задачи: 1. Необходимо согласовать знаки целевой функции и линейных ограничений: · соответствует · соответствует · Если это не так, то помножаем на -1 либо , либо ограничения 2. Каждому линейному неравенству ставится в соответствие неотрицательная переменная. В нашем примере у нас было неравенств, в соответствии которым мы получили ’ки 3. Каждому уравнению ставится в соответствие переменная без ограничения в знаке (произвольная) 4. Каждой неотрицательной переменной ставится в соответствие неравенство 5. Каждой переменной без ограничения в знаке ставится в соответствие уравнение
Основное неравенство двойственности: Для любого и любого справедливо .
Доказательство: , ч. т. д.
Достаточно условие оптимальности: Для любых планов и таких, что , то планы и оптимальны в своих задачах.
Первая теорема двойственности: Если одна из пары двойственных задач разрешима, что разрешима и друга, причём .
Доказательство: Пусть задача разрешима. Построим эквивалентную ей задачу : и все неравенства умножим на -1. Т. е. вся левая часть умножается на -1, и вместо будет , а у неравенств знаки изменятся на противоположные. Таким образом, задача стала стандартной. Т. е. задача разрешима. Значит, разрешима двойственная к ней. Двойственная к задаче эквивалентна , т. е. задача разрешима.
Определение: Говорят, что планы и удовлетворяют условиям дополняющей нежёсткости (УДН), если в каждой паре сопряжённых неравенств одно обязательно выполняется как равенство.
На данном определении основана вторая теорема двойственности: Планы и оптимальны тогда и только тогда, когда удовлетворяют условиям дополняющей нежёскости.
Доказательство: В одну сторону: докажем, что выполняются УДН. Пусть планы и – оптимальны. Тогда по первой теореме двойственности . Раз так, то неравенство становится равно 0: .
В левой части данного равенства записана сумма неотрицательных слагаемых, которая равна нулю только в случае равенства нулю каждого слагаемого.
или или
Т. е. и удовлетворяют условиям дополняющей надёжности.
Продолжим рассмотрение двойственных задач. Вернёмся к задаче, которую решали первым способом:
Мы уже нашли оптимальное решение этой задачи:
Строим двойственную к ней задачу:
Подставим оптимальное решение задачи в ограничение задачи:
Если ограничение выполняется как равенство, то сопряжённое – как неравенство, и наоборот.
(по условию УДН)
Выберем из получившихся сопряжённых равенства, получим:
Получили ответ: , , , .
Таким образом мы продемонстрировали метод решения двойственной задачи. Вернёмся к эконмическому смыслу задачи. Правые части ограничений – 3, 4, 5 – выражены в денежных единицах. Тогда и левые – также в денежных единицах. Коэффициенты при переменных и в ограничениях – это нормы затрат ресурсов каждого вида на единицу продукции одного вида. Поэтому и – это цены ресурсов. Значит, ответ задачи – это план оптимальных цен ресурсов.
Правые части ограничений – это доход от реализации продукции конкретного вида, а левые части – это затраты на её производство. В УДН свидетельствуют о том, что производится только так продукция (, ), для которой затраты равны доходу (видим равенства). Если затраты превышают доход (), то такую продукцию производить невыгодно: .
Коэффициенты при и в целевой функции – это запасы ресурсов, а сами ’ки, как мы сказали, это цены ресурсов. Таким образом, – это суммарные затраты на приобретение всех ресурсов.
Задача 1. Решим прямую задачу вторым способом записи симплекс-таблицы.
Целевая функция выражены как через базисные, так и через небазисные переменные, что значит, мы сможем решить её только вторым способом записи симплекс-таблицы. Помним, что базисные переменные – это те, которые входят только в одно уравнение и при том с коэффициентом 1. У нас это переменные , , . В целевой функции этих переменных нет, поэтому в столбце у нас нули.
Выберем ведущий столбец. Им будет тот, в котором в строке стоит отрицательный элемент. Выберем в данном столбце ведущую строку. Для этого элементы столбца делим на элементы ведущего столбца, но помним о том, что делим только на неотрицательные элементы:
Отрицательный элемент -12 убираем, получаем
Тогда ведущий элемент будет в строке столбца .
Меняем местами базисную переменную и элемент .
Теперь начинаем занулять элементы ведущего столбца с помощью обычных преобразований матриц, умножая строки на число и складывая их друг с другом. Нам нужно занулить все элементы кроме ведущего. Ведущий элемент должен принять значение 1. Например, для зануления элемента -12 умножим элементы строки на 4 и сложим со строкой . Чтобы ведущий элемент принял значение 1, строку умножим на 1/3 и запишем результат в новой таблице. Чтобы занулить элемент 1, умножим элементы строки на -1/3 и сложим со строкой .
Проверим таблицу на оптимальность и разрешимость. Столбец не имеет неотрицательных элементов, и находится над отрицательным элементом в строке , значит, задача не имеет решения.
Задача 2. Решим прямую задачу вторым способом записи симплекс-таблицы.
Задача 1: Решить прямую и двойственную задачу
В нашей задаче только две переменные, поэтому решим графически:
Выразим из первого уравнения:
Из второго:
Найдём наибольшую точку области :
Наша точка:
Найдём значение целевой функции в этой точке:
Составим двойственную к ней задачу:
Решим её:
Решим как систему:
Нашли точку:
По теореме двойственности целевая функция в этой задаче имеет то же значение, что и у прямой задачи.
Решить задачу:
Чтобы решить задачу вторым симплекс-методом, нам требуются базисные переменные. Их у нас нет. Добавить их нельзя – в уравнениях стоят уже равенства. Поэтому решить задачу известными симплекс-методами нельзя. Тогда составим двойственную задачу, и на основании её решения решим прямую задачу.
Составим двойственную задачу:
Теперь, когда задача составлена, её легко решить графически. Т. к. и имеют произвольный знак по отношению к 0, координатные оси не задают ограничений, т. е. мы строим нашу область на всей плоскости.
Найдём точки, через которые проходит прямая
Точка минимума функции:
Решением будет найденное значение целевой функции в точке . Подставим эту точку в целевую функцию и найдём решение обратной задачи.
Теперь мы можем найти решение прямой задачи. Для этого, по второй теореме двойственности, нам необходимо доказать, что найденные планы удовлетворяют УДН, т. е. что в каждой паре сопряжённых неравенств одно обязательно выполняется как равенство. Сопряжённые неравенства – это соответствующие неравенства прямой задачи и обратной задачи. Подставим в условия обратной задачи найденные оптимальные планы:
…
Задача 2: Определить, является ли вектор оптимальным решением следующей задачи:
Предположим, что указанный план оптимален. Тогда по первой теореме двойственности значение целевой функции в этом плане будет совпадать со значением целевой функции в оптимальном плане обратной задачи. Однако нам неизвестен оптимальный план обратной задачи, его требуется найти.
Составим обратную задачу
Теперь делаем примерно то же самое, что и в конце предыдущей задачи – подставляем план в сопряжённые равенства. Т. к. план принадлежит прямой задачи, в неё и подставляем:
…
Теперь выделим из получившихся только равенства и решим их:
Сложим первое и третье:
Теперь подставим в первое:
…
Самостоятельная работа. Вариант 1.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.073 сек.) |