Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская волна. Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран (Рис. 5.6). Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоскости Рис. 5.6. Все вводимые в дальнейшем величины, в частности угол φ, образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширины dx. Вторичные волны с цилиндрической волновой поверхностью, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом φ, соберутся в точке экрана P.

b

dx х

D = x s inj

Экран

P

Pис. 5.6

Каждая элементарная зона создаст в точке P колебание dE. Линза собирает их в фокальной плоскости, причём эти волны можно считать плоскими. Поэтому множитель 1/ r в выражении

(5.11)

(r расстояние от элемента поверхности dS до точки P) для dE в случае дифракции Фраунгофера будет отсутствовать. Ограничившись рассмотрением не слишком больших углов , можно коэффициент K в формуле (1) считать постоянным. Тогда амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны dx. Следовательно, амплитуда dA колебания dE, возбуждаемого зоной ширины dx в любой точке экрана, имеет вид , где С – константа.

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через А₀. Ее можно найти, проинтегрировав dA по всей ширине щели b:

.

Отсюда С=А /b, и, следовательно,

.

Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями dЕ. Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р элементарными зонами с координатами О и x (Рис.5.7). Оптические пути ОР и QP таутохронны. Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути D, равна xsinj. Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке Р элементарной зоной, находящийся в середине щели (х = 0), положить равной 0, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой х, будет равна

, где l – длина волны в данной среде.

Таким образом, колебания, возбуждаемые элементарной зоной с координатой х в точке Р может быть представлено в виде

d (5.12)

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав выражение (5.12) по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке Р открываемым щелью участком волновой поверхности:

Exp

Вынесем множители, не зависящие от х, за знак интеграла. Кроме того введем обозначение

. (5.13)

В результате получим

.

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду результирующего колебания. Приняв во внимание, что, согласно формуле Эйлера, разность экспонент, деленная на 2i, представляет собой singb, можно написать

(5.14)

(поставили значение (5.13) для g).

Выражение (5.14) является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

. (5.15)

Для точки, лежащей против центра линзы, j=0. Подстановка этого значения в формулу (5.15) дает для амплитуды значение А . Этот результат можно получить более простым путем. При j=0 колебания от всех элементарных зон приходит в точку Р в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значениях j, удовлетворяющих условию: pbsinj/l = ±kp, т.е. в случае, если bsinj = ±kl (k=1,2,3,…), (5.16)

то, амплитуда А обращается в нуль. Таким образом, условие (5.16) определяет положения минимумов интенсивности. Отметим, что bsinj представляет собой разность хода D лучей, идущих в точку Р от краев щели (рис. 5.6)

Условие (5.16) легко получить из следующих соображений. Если разность хода D от краев щели равна ±kl, открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2k равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна l/2(рис. 5.7, выполненный для k=2).

Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки P разность хода D равна ±(k+1/2)l, число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Рис. 5.7.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, совместно с (5.14)

, (5.17)

где – интенсивность в середине дифракционной картины, – интенсивность в точке.

Из формулы (5.17) получается, что . Это означает, что I_φ - чётная функция и дифракционная картина симметрична относительно центра линзы.

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели b к длине волны l. Из условия (5.16) следует, что sinj = ± kl¤ b. Модуль sinj не может превысить 1. Поэтому kl¤ b £ 1, откуда

k £ b/l. (5.18)

При ширине щели, меньше длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствуют значения угла j, получающиеся из условия bsinj = ± l. Эти значения равны ±arcsin(l/b). Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна

dj = 2arcsin(l/ b) (5.19)

В случае, когда b>>l, значения sin(l/b) можно положить равным (l¤ b). Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом:

dj = 2l/ b. (5.20)

Т.е. центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредотачивается основная доля светового потока, проходящего через щель.

В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоянием от щели до экрана, лучи, идущие в точку Р от краев щели, будут практически параллельными и в отсутствии линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраунгофера. Все полученные выше формулы будут справедливы, причем под j в этих формулах следует понимать угол между направлением от любого края щели к точке Р и нормалью к плоскости щели.

Поиск по сайту: