Пример 2.1. Параллельный пучок света с длиной волны λ = 500 нм падает нормально на диафрагму с круглым отверстием

Параллельный пучок света с длиной волны λ = 500 нм падает нормально на диафрагму с круглым отверстием, диаметр которого можно изменять. За диафрагмой на расстоянии r = 1 м от неё находится экран, на котором наблюдается дифракционная картина. Определить:

1 Каким будет центр дифракционной картины, если диаметр отверстия сделать равным D₁ = 4 мм?

2 При каком наименьшем значении диаметра D_min отверстия центр дифракционной картины будет темным при том же расстоянии r = 1 м?

3 На какое наименьшее расстояние от первоначального положения (r = 1 м) нужно передвинуть экран ближе к отверстию, чтобы центр дифракци­онной картины стал светлым при значении диаметра, найденном в пункте 2?

Дано: Анализ и решение

λ = 500 нм = 5·10 ^–7 м

r = 1 м

D = 4 мм = 4·10 ^–3 м

------------------------------

Определить:

1)m; 2)D_min; 3)Δr.

На рис. 2.5 АА₁ – диаметр отверстия. Так как слева от отверстия лучи парал­лельны между собой, то фронт волны пло­ский. При прохождении щели он совпадает с плоскостью отверстия. Каждая точка открытой части фронта волны явля­ется источником вторичных сферических волн. Эти волны придут в точку Р, где и произойдёт их интерференция.

1 Чтобы найти, каким будет центр дифракционной картины, нужно определить, сколько зон Френеля укладывается на открытой части фронта волны, т. е. в отверстии. Предположим, что в отверстии укладывается m зон. Тогда расстояние от точки Р до края m -той зоны, а следовательно, до края отверстия, должно быть (r + m · λ/2).

Из треугольника АОР следует:

АР² = АO² + ОР²;

(r + m · λ/2) = (D₁ /2) + r;

r² + rmλ + m²λ²/4 = D₁²/4+ r².

Слагаемым m²λ²/4 можно пренебречь, так как оно очень мало по сравнению с остальными слагаемыми. Таким образом:

rmλ = (D₁ /2)², (1)

откуда

m=D₁²/(4rλ). (2)

Из формулы (2) видно, что число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит не только от диаметра, но и от расстояния от отверстия до точки наблюдения и от длины волны.

Вычислим m:

m = 16·10 ^–6 м²/ (4·1 м ·5·10 ^–7 м) = 8.

Так как число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, четное, то центр дифракционной картины тёмный.

2 Наименьшее отверстие, при котором центр дифракционной картины будет тёмным, очевидно, должно вмещать наименьшее четное число зон Френеля, т. е. две зоны. Из формулы (1) определим соответствующий диаметр отверстия

D=2 (rmλ)^1/2, (3)

где

m = 2; D = 2 · 10 ^–3 м; λ = 5 · 10 ^–7 м; D_min = 2(2 · 1 м · 5 · 10 ^–7 м)^-1/2 = 2 · 10 ^–3 м = 2 мм.

3 Из формулы (2) видно, что при уменьшении расстояния r (при постоянных D и λ) количество зон Френеля, помещающихся в данном отверстии, увеличивается. Следовательно, если для точки наблюдения, находящейся на экране на расстоянии 1 м от отверстия, в этом отверстии укладывалось две зоны, то при приближении экрана число зон в отверстии будет больше двух. Так как центр картины должен стать светлым, то теперь число зон Френеля должно стать нечётным. Ближайшим к двум нечётным числoм является 3. Из формулы (1) находим расстояние r₁ от экрана до отверстия, при котором в отверстии укладывается три зоны Френеля:

, (4)

где m = 3; D = 2·10 ^–3 м; λ = 5·10 ^–7 м;

.

Искомая величина Δr = r – r₁:

Δr = 1 м – 0,67 м = 0,33 м.

Следовательно, экран нужно передвинуть на 0,33 м ближе к отверстию, чтобы центр дифракционной картины стал светлым. Если экран продолжать приближать к отверстию, то центр дифракционной картины будет то светлым, то тёмным.

Поиск по сайту: