Расчеты на прочность и жесткость. Определение необходимых размеров площади А поперечного сечения растянутого или сжатого стержня постоянного поперечного сечения производится по расчетной

Определение необходимых размеров площади А поперечного сечения растянутого или сжатого стержня постоянного поперечного сечения производится по расчетной формуле:

(2.5)

которая вытекает из условия статической прочности: и соотношения:

где [σ] – допускаемое напряжение материала стержня

на растяжение – сжатие, МПа.

N _max – наибольшее по модулю продольное усилие

в рассчитываемом стержне, Н.

Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (для пластичных материалов),

(2.6)

где – предел текучести материала стержня

при растяжении (сжатии), МПа;

– коэффициент запаса прочности по пределу текучести.

Если дополнительно ставится условие, чтобы упругое перемещение какой – либо точки системы не превосходило заданной допускаемой величины , то выполняется проверка на жесткость согласно следующему условию:

^. (2.7)

2.4. Построение эпюр N, и

Пример. Дано: Схема нагружения (рис. 2.1) и силы F ₁= F; F ₂=3 F; F ₃=2 F; F = 10 кН; a=1 м; d =16 мм; Е=2 10⁵МПа; построить эпюры N, s и определить .

Решение. Проводя поперечные сечения в любом месте на каждом участке стержня (рис. 2.1), по формуле (2.1) получаем следующие значения продольных усилий:

N ₁=- F ₁=- F; N ₂=- F ₁+ F ₂=- F +3 F =2 F;

N ₃=- F ₁+ F ₂- F ₃ = - F +3 F -2 F = 0;

Соответствующие продольные усилия изображены на рис. 2.2.

1 2 3

а 2а а

N ₁ F ₁ Сжатие бруса

(N ₁ < 0)

N ₂ F ₂ F ₁

Растяжение бруса

(N ₂ > 0)

F ₃ F ₂ F ₁

Не нагруженный брус

2 F =20

э N (кН)

- F =10

99,5

эs (МПа)

-49,7

Рис. 2.2

Из условия равновесия стержня å F_i =0 определяется внешняя продольная сила F ₄.

- F ₁+ F ₂ – F ₃ + F ₄ =0, F ₄ = F -3 F +2 F= 0

Площадь поперечного сечения стержня

Нормальные напряжения на каждом участке стержня определяем по формуле (2.2):

Эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ изображены на рис. 2.2.

По формуле (2.4) определяем абсолютное удлинение стержня на каждом участке, а затем суммируем полученные результаты:

2.5. Указания к решению задач по теме “Растяжение и сжатие”

Последовательность выполнения задач следующая:

1) Из условия равновесия стержня определяют неизвестные внешние нагрузки F.

2) Используя метод сечений, определяют продольные усилия N на каждом участке стержня в произвольном поперечном сечении.

3) Определяют площади поперечных сечений на каждом участке стержня.

4) Определяют нормальные напряжения σ на каждом участке стержня.

5) Определив абсолютное удлинение на каждом участке стержня (i =1,…, n), находят суммарную величину абсолютного удлинения стержня

. (2.8)

6) Строят эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений по участкам стержня.

При построении эпюры перемещений необходимо иметь в виду следующее:

1) построение всегда надо начинать с неподвижного или условно принятого за неподвижное сечение;

2) перемещение произвольного сечения стержня равно изменению длины участка (удлинению или укорочению ), заключенного между этим сечением и заделкой;

3) для построения эпюры перемещений достаточно определить перемещения сечений, совпадающих с границами участков, так как между указанными сечениями эпюра линейна;

4) перемещение первого сечения, ближайшего к неподвижному, таким образом, равно изменению длины первого участка. Перемещение следующего второго сечения определяет как результат алгебраического суммирования перемещения первого сечения и удлинения второго участка. Аналогично находятся перемещения остальных граничных сечений.

Варианты заданий

Задача 1

Стальной поршень пневмоцилиндра (рис. 2.3) находится в равновесии под действием рабочей нагрузки F ₂, силы давления воздуха в цилиндре F ₁ и силы пружины F ₃.

Найти продольные силы N, нормальные напряжения σ, перемещения и построить эпюры N, ,σ, если дано: а ₂ = 2 а ₁, а ₃=4 а ₁; d ₂ = 0,5 d ₁; d ₃ = 0,25 d ₁ и схема нагружения (рис. 2.3). Силы F ₁, F ₂ ; размеры поршня: а ₁ и d ₁ выбираются из табл. 2.1 в соответствии с вариантом.

а₁ а₂ а₃

F₁ d₃ F₂

Ø d ₃

Рис. 2.3

Таблица 2.1

Задача 2

Для стального поршня пневмоцилиндра (рис.2.4) определить рабочую нагрузку F ₃, продольные силы N, нормальные напряжения σ, перемещения и построить эпюры N, σ, , если даны: схема нагружения (рис. 2.4), F ₁ – сила давления воздуха в цилиндре, F ₂ – сила давления жидкости на поршень; а ₁ и d ₁ – размеры поршня. а ₂= 20 а ₁, а ₃= 2 а ₁; а ₄= 10 а ₁; d ₂=0,5 d ₁; d ₃= 5 d ₁; d ₄= 0,8 d ₁ (табл. 2.2).

Ø d ₃

Ø d₁ Ø d ₄

F ₂ F ₁ F ₃

Ø d ₂

а₁ а₂ а₃ а₄

Рис. 2.4

Таблица 2.2

Задача 3

На стальном валу (рис. 2.5) находятся зубчатые колесами. На них действуют осевые силы F ₁ и F ₂, приведенные к оси вала.

Определить продольные силы N, нормальные напряжения s, перемещения и построить эпюры N, s, , если d ₂ = 1.3 d ₁; d ₃=2 d ₁ (табл. 2.3).

Ø d₃

Ø d₂ Ø d₃

2а а 2 а 2 a 2 a a

Рис. 2.5

Таблица 2.3

Для бетонной опоры моста (рис. 2.6) определить продольные силы N, нормальные напряжения s, перемещения и построить эпюры N, s, . Даны в табл. 2.4: F ₁, F ₂, - силы, действующие на опору; A ₁, A ₂, A ₃ –площади поперечных сечений опоры.

2а а

1,5а

F₂ F ₁

A ₂ A ₁

Рис. 2.6

Таблица 2.4

3. Кручение стержня

Поиск по сайту: