Современная стоимость денег, дисконтирование. Текущая стоимость аннуитета

Рассмотрим теперь задачу, обратную той, что рассматривалась в предыдущем разделе. Пусть требуется накопить через год определенную сумму денег FV. Банк принимает вклады по ставке i. Какую сумму надо иметь сегодня для того, чтобы при помещении ее в банк по ставке i иметь через год заданную сумму FV. Ответ на этот вопрос дает соотношение (1), переписанное в виде

. ([11])

Если бы требовалось накопить нужную сумму FV не через один год, а через n лет, то, согласно (3),

. ([12])

Соотношения (11), (12) решают поставленную задачу, то есть позволяют определить современную, или текущую, стоимость денег исходя из будущей стоимости и сложной процентной ставки.

Процесс приведения будущей суммы денег к современной стоимости называется дисконтированием.

Пример 3. Какую сумму нужно поместить в банк, для того чтобы через 6 лет накопить сумму 200.000 руб.? Депозитная процентная ставка банка равна 25%.

Решение: В данном случае депозитная ставка банка выбрана в качестве ставки дисконтирования. Согласно (12) имеем

То есть, для того чтобы через 6 лет накопить 200.000 руб. при ставке 25%, следует поместить на счет 52.428,80 руб.

Пример 4. По векселю через 3 месяца должна быть выплачена сумма 350.000 руб. Найти текущую стоимость векселя, если ставка дисконтирования выбрана 28,5 %.

Решение: Считаем , . Рыночная стоимость векселя определяется с помощью дисконтирования:

Рассмотрим теперь такое важное понятие финансового анализа, как аннуитет. Аннуитетом, или рентой, называется постоянный доход, получаемый через равные промежутки времени.

Примерами аннуитета являются: доход, приносимый облигацией с постоянным купоном без погашения (см. подробнее раздел 6), дивиденды по привилегированным акциям, доход, приносящий сданная в аренду недвижимость. Как уже отмечалось, доходы, получаемые в разные моменты времени, имеют разную “ценность” сегодня. Современная стоимость аннуитета, таким образом, складывается из современных стоимостей всех будущих доходов:

. ([14])

Здесь PV - современная стоимость аннуитета, PMT - регулярный ежегодный доход, n - количество лет, в течение которых поступали доходы, i - ставка дисконтирования. Просуммировав геометрическую прогрессию в правой стороне (14), находим:

. ([15])

Коэффициент, входящий в правую часть последнего соотношения

, ([16])

представляет собой коэффициент дисконтирования аннуитета.

Соотношение (15) определяет стоимость аннуитета в том случае, когда постоянные доходы поступают один раз в конце года. Иначе, можно утверждать, что формула (15) определяет рыночную стоимость объекта, приносящего ежегодный постоянный доход.

Если постоянные выплаты PMT происходят несколько раз в году (каждый раз в конце периода), например m раз в году, то можно записать

. ([17])

где j - номинальная процентная ставка при условии начисления процентов m раз в году, n - количество лет, пока происходят выплаты; всего за n лет будет произведено n ^. m выплат.

Пример 5. Согласно долговой бумаге, на протяжении 5 лет будут производиться ежегодные выплаты в размере 1000 руб. Какова текущая стоимость долговой бумаги, если ставка дисконтирования выбрана 19,25%.

Решение:

Пример 6. В условиях предыдущего Примера считать, что выплаты происходят ежеквартально, то есть по 250 руб. каждые три месяца. Доход от ценной бумаги поступает в течение 5 лет. Ставка дисконтирования (номинальная при ежеквартальном начислении процентов m=4) равна j = 18%. [1] Какова текущая стоимость ценной бумаги?

Решение: Имеем: PMT = 250, j = 0,18, n = 5, m = 4.

Видно, что стоимость ценной бумаги выше, чем в предыдущем Примере. Это произошло из-за того, что выплаты приблизились к сегодняшнему дню.

Финансовые вычисления по облигациям. Общие положения

Облигации относятся к долговым ценным бумагам. По существу, эмиссия облигаций есть способ получения займа – эмитент выступает в роли заемщика, так как обязуется выплачивать определенный доход по облигациям, а покупатель облигации выступает в роли кредитора. Облигации, как правило, являются ценными бумагами с фиксированным доходом[2], в отличие от акций, когда доход определяется прибылью предприятия. Доход по облигациям, как правило, бывает меньше, чем по другим ценным бумагам, в то же время, облигации считаются более надежным инструментом рынка ценных бумаг. Ведущие рейтинговые агентства, такие как Standard&Poors и Moody’s присваивают облигациям рейтинги. Чем выше рейтинг облигации, тем меньше ее доходность.

По облигациям выплачивается периодически купонный доход, а в конце срока происходит погашение номинала.

Основные параметры облигации – дата покупки облигации, дата погашения, номинальная цена или номинал облигации, цена погашения, если она отличается от номинала (такая ситуация бывает, как правило, в случае нескольких дат погашения), годовой купонный доход, купонная процентная ставка, количество выплат купонов в году.

Облигация может иметь две или больше даты погашения. В этом случае, как правило, ставка купонного дохода увеличивается к каждой следующей дате погашения. При этом возможны следующие варианты: в первом случае владелец облигации сам выбирает, когда погасить облигацию, во втором случае эмитент оставляет за собой право погасить облигацию в любой из указанных сроков.

Возможна также ситуация, когда эмитент имеет право досрочного выкупа облигаций. Рейтинг таких облигаций ниже, чем у облигаций с запретом досрочного выкупа, так как высока неопределенность для инвестора.

Введем следующие обозначения основных параметров облигаций, которые понадобятся нам в дальнейшем:

N – номинал облигации, выплачивается при погашении;

P – рыночная цена;

- курс облигации, определяет текущую стоимость облигации в процентах от номинала;

g – годовая купонная процентная ставка, в процентах или десятичных долях;

C = g ^. N - годовой купонный доход, в рублях, определяет суммарный годовой доход, выплаченный по купонам;

– текущая доходность; для аннуитетов (см. раздел 5) совпадает с полной доходностью облигации;

i – полная доходность облигации за период владения ею; если владелец облигации держит ее вплоть до погашения в конце срока, то величина i показывает доходность к погашению. В зависимости от задачи буквой i будем обозначать ставку дисконтирования.

Если облигация куплена по цене, равной номинальной цене, то говорят, что такая облигация куплена по номиналу, если облигация куплена по цене ниже номинала, то говорят, что облигация куплена с дисконтом, если по цене выше номинала - с премией (последнее не означает, что доход по такой облигации не может быть получен).

Доход, полученный за все время владения облигацией, складывается из купонных выплат и цены погашения облигации, выплачиваемой в конце срока владения (как правило, эта цена совпадает с номинальной ценой).

Обозначим через купонные доходы, полученные владельцем в течение владения облигацией. В конце срока происходит погашение облигации по номиналу N. Сюда относятся выплаты по купонам и цена погашения облигации. Тогда современная (рыночная) стоимость облигации P равна сумме всех дисконтированных доходов:

, ([18])

где i - доходность облигации к погашению.

Соотношение (18) связывает рыночную цену облигации с доходностью к погашению или со ставкой дисконтирования. Если будущие доходы известны, фиксированы, то соотношение (18) позволяет решать две основные задачи: а) определять цену облигации, если известна доходность (ставка дисконтирования), б) определять доходность облигации, если известна цена облигации. Очевидно, что эти две задачи являются обратными друг другу.

Как видно из (18), если будущие доходы по облигации фиксированы, то цена облигации тем выше, чем ниже ставка доходности. Таким образом, можно прийти к важному выводу: доходность облигации и цена в зависимости от рыночных тенденций изменяются в противоположных направлениях, то есть при повышении рыночных процентных ставок, цена облигации падает, и наоборот – при понижении рыночных процентных ставок, цена облигации возрастает.

Ниже приведены финансовые вычисления для основных видов облигаций.

Поиск по сайту: