ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПО ЦЕННЫМ БУМАГАМ

1. Простые и сложные проценты. Эффективная и номинальная
процентные ставки

Прежде чем приступить непосредственно к финансовым вычислениям по ценным бумагам, следует ознакомиться с основными понятиями финансовой математики, такими как: сложные проценты, номинальная и эффективная процентная ставки, современная (текущая) стоимость, аннуитеты. Рассмотрим вначале как происходит начисление процентов по простой и сложной процентной ставкам.

Обладатель денег может распорядиться ими простым способом – поместить их на банковский счет равна PV (сокращение от «present value” – дословно, современная стоимость денег, то есть сумма, которой владелец обладает сегодня). Тогда через год у владельца этих денег на счете будет сумма

, ([1])

где i - процентная ставка банка. Здесь использовано следующее обозначение: FV – «future value», дословно – будущая стоимость денег, то есть сумма, которую получит владелец спустя определенное время.

К примеру, если банковская процентная ставка равна 10%, то через год сумма на счете вырастет в 1,1 раза. Доход обладателя счета составит .

Существует два способа начисления процентов: по простой процентной ставке и по сложной.

При начислении дохода по простой процентной ставке доход каждый раз начисляется на первоначально вложенную сумму. То есть, через год доход составит , через два года , через 5лет - , через n лет - . Таким образом, при начислении дохода по простой процентной ставке, через n лет на счете у владельца будет сумма

. ([2])

Соотношение (2) описывает линейную зависимость будущей стоимости денег FV от времени n. Таким образом, при начислении дохода по простой процентной ставке, деньги на счете растут по линейному закону.

Другим способом начисления дохода является использование сложных процентных ставок. При начислении дохода по сложной процентной ставке , доход начисляется не на первоначальную сумму, а уже на накопленную сумму. То есть, если в конце первого года сумма на счете составляла , то в конце второго года она составит , в конце третьего года – и т.д. По прошествии n лет сумма на счете владельца составит

. ([3])

Коэффициент

, ([4])

входящий в правую сторону соотношения (3), называется коэффициентом наращения.

Посмотрим, как изменяются деньги на банковском счете со временем при начислении дохода по одинаковым, простой и сложной, процентной ставкам. Сравнение формул (2) и (3) показывает, что в первый год деньги растут быстрее, если доход начисляется по простой процентной ставке. К концу первого года доходы, полученные по обеим ставкам, одинаковы. В дальнейшем деньги растут быстрее (причем, существенно), если начисление дохода происходит по сложной процентной ставке.

Если известна начальная стоимость денег и будущая стоимость денег , то доходность (сложная процентная ставка) за лет составит:

. ([5])

Пример 1. 1000 рублей помещается в банк под 10% годовых. Определить стоимость вклада через 10 лет, если проценты начисляются а) по простой ставке, б) по сложной ставке?

Решение: а) При начислении дохода по простой ставке будущая сумма будет

б) В случае сложных процентных ставок

Перейдем теперь к определению таких понятий как эффективная и номинальная процентные ставки.

До сих пор мы рассматривали случай, когда процентная ставка начисляется один раз в году. Величина показывает, во сколько раз выросла сумма за один год. Такая процентная ставка называется эффективной (в дальнейшем эффективную процентную ставку будем обозначать буквой i).

В действительности, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежеквартально (четыре раза в году), ежемесячно (12 раз в году), ежедневно (365 раз в году) и т.д. В этом случае мы имеем дело со сложной номинальной процентной ставкой j. Если указывается номинальная процентная ставка j, то всегда еще указывается, сколько раз в году происходит начисление процентов.

Рассмотрим пример, когда проценты начисляются ежемесячно. Тогда через месяц на счете у владельца будет сумма

.

В течение следующего месяца проценты начисляются на эту сумму, поэтому в конце второго месяца сумма на счете составит

,

через три месяца

и т.д. Таким образом, через год сумма на счете составит

. ([6])

С другой стороны, последнее соотношение можно записать, используя эффективную процентную ставку i:

. ([7])

Приравнивая (6) и (7), получаем связь между эффективной и номинальной процентными ставками (при начислении процентов 12 раз в году)

. ([8])

Обобщая, можно утверждать, что если номинальная ставка j начисляется m раз в году, то в конце первого года сумма на счете составит

.([9])

Эффективная процентная ставка, при этом:

. ([10])

Соотношение (10) устанавливает связь между эффективной и номинальной ставками процента.

Следует отметить, что при финансовых вычислениях можно пользоваться как эффективной i, так и номинальной процентной ставкой j. При этом результаты расчетов не должны зависеть от выбора процентной ставки.

Пример 2. Банк начисляет доход на вложенную сумму из расчета 1,5% в месяц. Определить номинальную ставку и эффективную ставку начисления процентов.

Решение: Номинальная процентная ставка . Эффективная процентная ставка , или в процентном выражении i = 19,56%.

Поиск по сайту: