|
||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
I. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ СТАТИСТИКИ 4 страницаКонтрольные вопросы
1. Какое макроскопическое состояние идеального газа рассматривается при выводе закона Бернулли? 2. При выводе распределения вероятностей предполагается, что 3. Число микросостояний, посредством которых реализуется интересующее нас макросостояние, записывается в виде 4. Как выражаются одночастичные вероятности 5. Докажите, что биномиальное распределение отвечает условию нормировки? 6. Выделите основные признаки случайных событий, которые описывает закон Бернулли? Приведите примеры. 7. Чему равно наиболее вероятное значение 8. Чему равна дисперсия числа частиц 9. Как зависит относительная флуктуация числа частиц от соотношения объёмов 10. Запишите распределение Пуассона. Представьте его графически. Какие явления оно описывает? 11. Запишите распределение Гаусса. Представьте его графически. Какие явления оно описывает? 12. В чём заключается явление эффузии. Какой статистический закон применим для её описания?
ЛЕКЦИЯ 4
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА 4.1. Распределение энергии в статической системе
Одной из важнейших проблем молекулярной физики является вопрос о распределении энергии между отдельными частями изолированной системы. Первые теоретические исследования в этой области были проведены в середине XIX века английским физиком Джеймсом Кларком Максвеллом и австрийским учёным Людвигом Больцманом. Максвелл получил распределение молекул идеального газа по скоростям и, соответственно, по кинетическим энергиям. Больцман вывел, закон распределения частиц по энергиям во внешнем потенциальном поле. В те годы базовые понятия молекулярной статистики только начинали формироваться, канонов получения статических распределений не было. Поэтому учёные искали и находили оригинальные способы решения частных задач. В 1859 году Максвелл предложил достаточно сложный метод вывода своей знаменитой формулы. Чтобы не преодолевать трудности авторского подхода, мы обратимся к другому, более современному способу нахождения распределения. Сорок лет спустя после открытия Максвелла американский физик-теоретик Джозайя Уиллард Гиббс вывел общий закон распределения энергии между подсистемами изолированной системы. Его метод поражает своей универсальностью и математической простотой. Поэтому сначала выведем распределение Гиббса, а затем получим закон Максвелла как его частный случай, когда подсистемой является одна частица, обладающая только кинетической энергией. В дальнейшем нам предстоит ещё не раз обращаться к распределению Гиббса за поддержкой в обосновании законов молекулярной статистики. Вывод распределения Гиббса
Описание системы
Рассмотрим систему, принадлежащую микроканоническому ансамблю, тогда любая её часть – подсистема, принадлежит каноническому ансамблю (рис. 4.1).
Введем обозначения: Актуальные свойства модели системы
• Система находится в состоянии термодинамического равновесия. • Наличие силовых полей возможно, если это совместимо с состоянием термодинамического равновесия. • Структура подсистемы произвольна, её энергия может меняться дискретно или непрерывно. • Единственное ограничение, которое должно выполняться всегда Постановка задачи
Какова вероятность того, что рассматриваемая подсистема находится в состоянии с энергией
Вывод закона
Определение вероятности макросостояния (2.15) справедливо для системы, принадлежащей микроканоническому ансамблю, поэтому будем определять вероятность состояния подсистемы через микроскопические состояния всей системы. Для простоты предположим, что энергия подсистемы меняется дискретно. • Запишем вероятность интересующего нас макроскопического состояния системы где • Используя очевидное соотношение преобразуем (4.2) Поскольку здесь • Введём обозначение для производной С увеличением энергии обычной физической системы число доступных ей микросостояний растёт, причём, крайне быстро, поэтому постоянная
где • Подставив выражение (4.4) в (4.3), используя параметр Постоянный множитель Ответ: Если энергия подсистемы меняется непрерывно, то её значение фиксируется как
При выводе распределения Гиббса (его также называют каноническим распределением) мы по умолчанию полагали, что к состоянию с энергией Если это не так, то формулы (4.7) и (4.8) следует дополнить соответствующими множителями. На схеме 4.1.1 приведены обобщенные формулы Гиббса для дискретного и непрерывного распределения энергии.
Схема 4.1.1.
4.2. Вывод распределения Максвелла
Описание системы
Система представляет собой классический идеальный газ, состоящий из тождественных частиц, в состоянии термодинамического равновесия. Внешние силовые поля отсутствуют. В качестве подсистемы рассматривается одна молекула, которая может обмениваться энергией с другими подсистемами (молекулами) в результате столкновений.
Актуальные свойства модели системы
• Подсистем – молекул очень большое число, следовательно, условие
выполняется, поэтому для вывода закона можем использовать распределение Гиббса. • Поскольку силовых полей нет, частица обладает только кинетической энергией Постановка задачи Какова вероятность Вывод закона • По условию частица обладает только кинетической энергией, зависящей от абсолютной скорости (4.11), поэтому удобно перейти к новому аргументу
Следуя (4.10), запишем:
где • Рассмотрим прямоугольную систему координат с осями
Рис. 4.2. • Число микросостояний с абсолютной скоростью
Объём этого слоя равен следовательно,
• Подставим (4.14) в (4.12), тогда
Постоянная
Вычислив интеграл в знаменателе (4.16), получим ответ: Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по абсолютным значениям скорости. Прежде чем переходить к анализу полученной формулы проясним значение параметра Найдём среднюю кинетическую энергию молекулы: Таким образом, Используя формальное определение температуры (4.6) запишем Формулы (4.19, 4.20) являются основными определениями температуры в статистике. Из них следует, что температура – это мера средней кинетической энергии молекул. 4.3. Плотность вероятности и характерные скорости распределения Максвелла
Плотность вероятности распределения (4.17) обозначим как Примерный вид Рис. 4.3. С увеличением температуры максимум функции
Схема 4.3.1.
Обратите внимание, что все три характерные скорости пропорциональны, их числовые коэффициенты имеют очень близкие значения и находятся в пределах от Характерные скорости молекул азота и кислорода при температуре T =300 K равны примерно 400 – 500 м/с. Их величины сравнимы со скоростью звука в воздухе.
4.4. Распределение Максвелла по компонентам скорости Формальный переход от сферической системы координат в пространстве скоростей (рис. 4.2) к декартовой (рис. 4.4) приводит закон Максвелла к следующему виду:
Как видно из (4.25), вероятность выражается произведением одномерных вероятностей, поскольку по своей сути является вероятностью произведения трех независимых событий:
где
![]() Приведённые выше формулы распределения Максвелла для сферической и декартовой систем координат позволяют находить средние значения различных микроскопических и макроскопических параметров, зависящих от абсолютной скорости или отдельных компонент скорости в соответствии с общей процедурой усреднения. Для применения этих формул к системе Относительное число частиц со скоростями в том же интервале
Применение одномерного распределения к системе частиц даёт соответствующие формулы, определяющие абсолютное и относительное количество частиц с компонентами скорости
Таким образом, абстрактная величина вероятности проявляется в конкретной и ясной форме: это не что иное, как доля частиц, обладающих той или иной скоростью.
4.5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла
Закон Максвелла неоднократно подвергался экспериментальной проверке, начиная с опыта Штерна, осуществлённого в 1920 году. В большинстве опытов используется такое явление как эффузия. С помощью нескольких щелей получают узкий молекулярный пучок, который направляется на устройство, сортирующее молекулы по скоростям, после чего частицы регистрируют тем или иным способом. Для сортировки молекул наиболее часто используют метод вращающихся дисков (опыт Ламмерта) и метод вращающегося цилиндра (опыт Цартмана). На схеме 4.5.1 дано краткое описание этих методов. Более подробное их описание можно найти в [14]. Существуют и принципиально иные способы проверки данного закона. Например, наблюдается экспериментально уширение линии спектра излучения, движущихся возбуждённых молекул газа за счёт эффекта Допплера. Ширина спектральных линий определяется распределением молекул по скоростям.
Схема 4.5.1.
Опытные проверки блистательно подтвердили справедливость распределения Максвелла.
Контрольные вопросы
1. На какой вопрос отвечает распределение Гиббса? Какова область его применимости? 2. Как используется условие 3. Как определяется параметр Какие существуют основания считать, что 4. Запишите распределение Гиббса в обобщенной форме, если энергия системы является а) непрерывной случайной величиной; б) дискретной случайной величиной. Поясните смысл всех сомножителей в формуле. 5. На какой вопрос отвечает распределение Максвелла? 6. Что называется пространством скоростей? С какой целью эта модель используется при выводе распределения Максвелла? 7. Как вычислить нормировочную постоянную 8. Как определяется температура в статистике? 9. График плотности вероятности 10. Какие скорости молекул называются характерными? Чему они равны? 11. Как определить долю частиц в системе, обладающих абсолютной скоростью в интервале 12. Как осуществлялась проверка распределения Максвелла в опыте Цартмана и в опыте Ламмерта?
ЛЕКЦИЯ 5
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Критерием справедливости или истинности любой физической теории является эксперимент. Напомним, что одной из основных задач молекулярной статистики является установление связи между средними микроскопическими параметрами молекулярной системы и её макроскопическими характеристиками. Все макроскопические параметры системы могут быть получены из микроскопических представлений, но их экспериментальное определение требует макроскопических измерений. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.024 сек.) |