|
|||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
I. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ СТАТИСТИКИ 3 страница
Определения вероятности (2.3) и (2.14) совершенно эквивалентны. При решении задач следует выбирать наиболее удобное из них для конкретных условий. Статистические постулаты
Молекулярная статистика как научная теория опирается на два основополагающих допущения, не имеющих в настоящее время доказательств, и поэтому называемых постулатами. Несмотря на это все последующие положения, законы, следствия и выводы теории имеют строгие логические доказательства и экспериментальные подтверждения. Постулаты имеют свои исторически сложившиеся названия. Первый кратко именуют постулатом равновероятности. Второй постулат называют эргодической гипотезой. Прежде всего, дадим развернутые (двухчастные) формулировки этих постулатов (см. схему 2.4.1), а затем прокомментируем их содержания.
Комментарий к постулату равновероятности
Как можно экспериментально установить, что система находится в равновесии? Для этого надо убедиться в том, что все наблюдаемые макроскопические параметры системы не зависят от времени. Рассмотрим микроканонический ансамбль систем. Для любой частицы, входящей в каждую систему ансамбля, нет никаких предпочтений для нахождения в какой либо конкретной ячейке пространства по сравнению с другой. Все ячейки физически эквивалентны, все местоположения частицы равновозможны. Вследствие этого, системы статистического ансамбля в некоторый момент времени будут равномерно распределены по всем доступным микроскопическим состояниям. С течением времени каждая система будет совершать переходы между различными доступными состояниями. Законы механики позволяют доказать, что такой динамический процесс не может изменить равномерное распределение систем по микросостояниям. Равномерное распределение остается, таким образом, неизменным во времени. Другими словами, вероятность нахождения системы в каждом из доступных состояний не зависит от времени. Это стационарное состояние изолированной системы по определению является равновесным. При этом среднее значение любого измеряемого макроскопического параметра системы не будет зависеть от времени. Обратите внимание на вторую часть постулата. В ней заключено предупреждение о возможности обнаружить изолированную систему в неравновесном состоянии. Однако, благодаря своей изолированности система обречена в обозримом будущем оказаться в равновесии.
Схема 2.4.1.
Комментарий к эргодической гипотезе В первой части гипотезы постулируется (предполагается) свойство статистической системы, которое собственно и называется эргодичностью. Вторая часть формулировки является следствием первой части и решает вопрос об усреднении микроскопических параметров. Микроскопические параметры, характеризующие отдельные молекулы системы, постоянно меняются во времени случайным образом. Можно ли рассчитать средние значения этих параметров с помощью применения формальной процедуры? В качестве примера рассмотрим усреднение квадрата координаты определенной частицы,
Изменение координаты будем рассматривать как результат перехода частицы из одной ячейки конфигурационного пространства в другую:
где
При
• Равна ли вероятность по времени вероятности по ансамблю? • Допустимо ли заменить «невозможную» процедуру усреднения по времени на процедуру усреднения по ансамблю?
Эргодическая гипотеза отвечает на эти вопросы утвердительно. Впервые гипотеза была высказана в 1871г. Л.Больцманом, затем Дж.Максвелл в 1879г. проанализировал возможность замены средних по времени средними по ансамблю.
Вероятность макроскопического состояния Если известны признаки интересующего нас макроскопического состояния системы (обозначим их
Число микроскопических состояний
Контрольные вопросы
1. Какие молекулярные системы называются идеальными? Приведите примеры. 2. Опишите модель системы идеальных спинов. Чему равно количество проекций спина на выделенное направление? 3. Что называется случайным событием? Дайте определения различным видам случайных событий. 4. Как определяется вероятность случайного события? В чем различие классического и статистического определений вероятности? 5. Что называется случайной величиной? Назовите основные числовые характеристики случайной величины. Запишите формулы для их нахождения. 6. Что называется плотностью вероятности? Запишите для нее условие нормировки. 7. Сформулируйте две теоремы теории вероятностей рассмотренных на лекции. Какая из них лежит в основе условия нормировки вероятности? Дайте математическое обоснование. 8. Что называется микроскопическим состоянием системы? Какие параметры используются для его описания в классических и квантовых системах? 9. Что называется микроканоническим статистическим ансамблем? 10. Как определяется вероятность микроскопического состояния по ансамблю и по времени? 11. Сформулируйте статистические постулаты. Поясните их смысл. 12. Дайте определение вероятности макроскопического состояния статистической системы?
ЛЕКЦИЯ 3
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕГО ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ В ОПИСАНИИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИСТЕМ
При описании статистических систем нас, конечно же, интересует пространственное распределение частиц. Наличие каких-либо силовых полей или их отсутствие определяет различные законы распределения вероятностей. Начнем исследование с простейшего случая – равновесного пространственного распределения частиц классического идеального газа в отсутствии силовых полей. Наша задача получить закон распределения вероятностей на основе базового определения вероятности макроскопического состояния изолированной системы (2.15).
3.1. Вывод закона распределения вероятностей
Описание системы
Рассмотрим изолированную систему, представляющую классический идеальный газ (рис. 3.1). Введем обозначения:
мысленно выделенное подпространство, не имеющее материальных границ (Рис. 3.1), поэтому в объеме V1 может находиться случайное число частиц
Актуальные свойства модели системы
• Пространство, занимаемое газом однородно и изотропно (нет выделенных мест и направлений). • Частицы отличимы друг от друга (например, пронумерованы). Последнее неожиданное допущение фиксирует факт отсутствия пространственной конкуренции между молекулами классического идеального газа Следует обратить внимание на то, что рассматриваемые частицы совершенно одинаковы, поэтому свойства двух микросостояний, в которых частицы обменялись местами, должны быть абсолютно идентичными. Однако, мы считаем эти микросостояния различными, поскольку системе требуется определенное время для того, чтобы пройти эти «одинаковые» микросостояния. Различимость частиц в дальнейшем заставит нас выбрать «нужные» формулы комбинаторики для подсчета числа микросостояний системы.
Постановка задачи
Какова вероятность
Вывод закона
• По определению вероятность макроскопического состояния системы • Полное число микросостояний • Число размещений
• Число состояний, доступных для остальных
Каждое из микросостояний комбинирует со всеми микросостояниями
• Поскольку частицы различимы, то фиксированное число молекул • Окончательно Ответ:
Трудно представить, что такая громоздкая формула может найти хоть какое-нибудь применение. Будем работать дальше в надежде на
Математические преобразования больших чисел. Введение общепринятых обозначений
Для преобразования больших чисел обычно используют формулу Стирлинга.
Эта формула позволяет существенно упростить (3.1), а именно
Введём общепринятые обозначения:
– условие нормировки одночастичной вероятности.
Формула для вероятности макросостояния. Закон Бернулли, или биномиальное распределение. Используя общепринятые обозначения, представим (3.2) в виде
Это и есть окончательная формула для вероятности макросостояния. Для полученного распределения выполняется условие нормировки вероятностей:
Это выражение совпадает с формулой бинома Ньютона. В соответствии с (3.3)
Следовательно
Благодаря связи с биномом Ньютона формула (3.4) получила свое распространенное название – биномиальное распределение. Другое название этого распределения – закон Бернулли, в честь ее автора известного европейского математика Якоба Бернулли. Заметим, что Бернулли получил выражение (3.4) иным способом, на основе теоремы умножения вероятностей независимых событий для любых значений Биномиальное распределение справедливо для многих случайных событий, имеющих два возможных исхода. При этом обязательным условием выполнения закона является то, что вероятность реализации одного из исходов в единичном испытании должна быть постоянной Биномиальное распределение отвечает на вопрос: какова вероятность осуществления Приведём примеры. Какова вероятность того, что из 50 новорождённых 20 мальчиков? Какова вероятность того, что из 1000 новых одинаковых приборов на складе 5 бракованных? В первом случае вероятность
3.2. Графическое представление биномиального распределения.
Графические представления биномиального распределения для разных значений n и p приведены на рис. 3.2: а
г Рис. 3.2. В предельном случае, когда Основные характеристики биномиального распределении.
Важными числовыми характеристиками распределения вероятностей являются наиболее вероятное значение числа частиц
Схема 3.2.1.
Относительные флуктуации числа частиц в пространстве возрастают с уменьшением области, в которой эти флуктуации рассматриваются. В макроскопических системах флуктуации незначительны, поэтому можно считать, что
3.3. Предельные случаи биномиального распределения
В теории вероятностей анализ предельных форм биномиального распределения базируется на строгих доказательствах. Этому вопросу посвящены специальные теоремы. На схеме 3.3.1 приведены результаты этих доказательств, имеющие важное значение для описания статистических систем
Схема 3.3.1.
В предельных случаях биномиальное распределение приобретает более простую математическую структуру. При решении конкретных задач, полезно, прежде всего, установить, относится ли рассматриваемая ситуация к какому-либо предельному случаю. Если относится, то следует применить соответствующую формулу, что значительно упростит решение. Среди примеров, относящихся к области применимости распределения Пуассона, особое внимание обратим на явление эффузии. Это явление заключается в следующем. Газ, находящийся в сосуде при низком давлении Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.022 сек.) |