Решение практических задач. П р и м е р 13.1. Найти общий интеграл уравнения

П р и м е р 13.1. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, поделив обе части на выражение cos² y ∙sin² x:

.

Интегрируя обе части данного уравнения, получим

,

откуда

Воспользуемся тем, что С – произвольная постоянная и заменим С на . Тогда

.

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

П р и м е р 13.2. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Разрешим уравнение относительно производной :

.

Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения на х ², получим:

т. е. у ¢ есть функция отношения . Это означает, что данное уравнение – однородное.

Для решения этого уравнения введем новую функцию . Тогда у = ux и . Тогда уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя это уравнение, получим

откуда .

Заменяя в последнем равенстве u отношением , окончательно получим:

.

П р и м е р 13.3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Положим y = u∙v, тогда y ¢ = u ¢ v + u v ¢ и данное уравнение примет вид:

.

Решая уравнение , получим простейшее частное решение:

.

Подставляя v в уравнение, получим

.

из которого находим u:

Итак, искомое общее решение примет вид

П р и м е р 13.4. Найти общее решение уравнения

.

Решение. 1) Найдем решение соответствующего однородного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение, т. е. y ¢¢ = k², y ¢ = k:

.

Следовательно,

.

2) Найдем теперь у ^*. Здесь правая часть имеет вид , где k = – 3, P_n (x) = A. Так как k = – 3 является двукратным корнем характеристического уравнения, т. е. r = 2, то частное решение у ^* следует искать в форме

,

где А – коэффициент, подлежащий определению. Вычислим производные и :

;

.

Подставляя выражения для у ^*, и в данное выражение, сокращая обе части на и приводя подобные члены, в итоге получим 2 А = 14, откуда А = 7. Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Итак, общее решение данного уравнения

Пример 13.5.. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Решение. Представим решение данного уравнения в виде ряда

. (*)

Подставив начальное условие , в (*), получим . Продифференцируем разложение (*):

. (**)

Подставим в данное дифференциальное уравнение вместо его значение (**), а вместо – его выражение (*), взяв первые три члена (в соответствии с условием задачи). Получим . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа последнего равенства, получим , . Так как , то , , и решение (8) примет вид .

Поиск по сайту: