АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дифференциальные уравнения второго порядка. Определение. Уравнение вида F (x, y, y¢, y¢¢) = 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка или

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. I Классификация кривых второго порядка
  3. I. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.
  4. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  5. II. Однородные уравнения.
  6. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  7. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  8. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  9. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  10. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  11. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  12. V2: Применения уравнения Шредингера

Определение. Уравнение вида F (x, y, y¢, y ¢¢) = 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка или, если это возможно в виде разрешенном относительно старшей производной:

у ¢¢ = f (x, y, y ¢) (13.11).

Задача Коши для уравнения второго порядка имеет вид

(13.12)

Т е о р е м а К о ш и. (существования и единственности задачи Коши). Если функция f (x, y, y ¢) и ее частные производные f¢y (x, y, y ¢) и f¢y ¢(x, y, y ¢) определены и непрерывны и, следовательно, ограничены в некоторой области пространства переменных (x, y, y ¢), тогда в любой окрестности точки (х 0, у 0, у ¢0) этой области существует единственное решение уравнения у ¢¢ = f (x, y, y ¢), удовлетворяющее условиям

y = y 0, y ¢ = y¢ 0 при x = x 0.

Геометрически это означает, что через заданную точку (х 0, у 0) плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом у ¢0 касательной в точке (х 0, у 0).

Определение. Функция у = φ (х, С 1, С 2) зависящая от х и двух произвольных постоянных С 1 и С 2 и при подстановке в уравнение у ¢¢ = f (x, y. y ¢) обращающая его в тождество называется общим решением этого уравнения.

Геометрически общее решение уравнения второго порядка представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров С 1 и С 2.

Определение. Любая функция, получающаяся из общего решения уравнения (13.11) при определенных значениях постоянных С 1 и С 2, т. е. у = φ(х, С 10, С 20) называется его частным решением.

Геометрическое истолкование задачи Коши.

у
х
К
М 0
a0
a0
х 0
у 0

Для того, чтобы из совокупности интегральных кривых выбрать одну, недостаточно указать точку М 0(х 0, у 0), т. к. через нее проходит пучок интегральных кривых. Поэтому, чтобы

из семейства интегральных кривых выделить одну кривую К, следует помимо точки М 0(х 0, у 0) указать направление в котором кривая К проходит через точку М 0, т. е. задать tg a0 угла образованного касательной к кривой К в точке М 0 и положительным направлением оси О х, т. е. tg a0 = у ¢0. Таким образом постоянные С 1 и С 2 общего решения уравнения (13.11) удовлетворяющего начальным условиям задачи Коши у (х 0) = у 0, у ¢(х 0) = у ¢0 определяются из системы:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)