Второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Уравнение вида

у ¢¢ + р у¢ + q y = 0, (13.17)

где р, q - вещественные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Пусть дано линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (13.17).

Уравнение вида

k ² + p k + q = 0 (13.18)

называется характеристическим уравнением уравнения (13.17).

Т е о р е м а 13.6. (о частных решениях уравнения (13.17)).

Если число k - действительный корень уравнения (13.18), то у = e^kx является частным решением уравнения (13.17).

Если k _{1, 2} = a ± b i - комплексно сопряженные корни уравнения (13.16), то функции являются частным решением уравнения (13.15).

Т е о р е м а 13.7. (об общем решении уравнения (13.17)).

Если корни характеристического уравнения (13.18) вещественные и различные (k ₁ ¹ k ₂), то общее решение уравнения (13.17) имеет вид

Если корни уравнения (13.18) вещественные и равные (k ₁ = k ₂), то общее решение уравнения (13.17) имеет вид

Если корни характеристического уравнения (13.18) комплексные , то общее решение (13.17) имеет вид

Поиск по сайту: