Достатня ознака монотонності функції

Монотонність та екстремуми функції

Означення. Функцію називають зростаючою (спадною) в проміжку (а, в), якщо більшому значенню аргументу в цьому проміжку відповідає більше (менше) значення функції, тобто якщо із нерівності х₂ > х₁ випливає нерівність , то функція - зростаюча, а якщо , то функція - спадна.

Функцію називають монотонною в проміжку (а, в), якщо вона в цьому проміжку зростаюча або спадна. Проміжки, в яких функція монотонна називають проміжками монотонності цієї функції.

Достатня ознака монотонності функції

Якщо похідна диференційовної функції додатна всередині деякого проміжку, то функція зростає в цьому проміжку. Якщо похідна диференційованої функції від’ємна всередині деякого проміжку, то функція спадає в цьому проміжку.

Для знаходження інтервалів монотонності заданої функції доцільно дотримуватись такого порядку дій:

1. знайти область визначення та похідну ;

2. знайти корені рівняння ;

3. поділити область визначення функції знайденими коренями рівняння на інтервали знакової постійності ;

4. визначити знак похідної в кожному інтервалі і зробити висновок, в якому інтервалі функція зростає, а в якому спадає.

Знайти інтервали зростання і спадання функції

.

● Маємо

,

звідки

Похідна f¢ (x) неперервна для х Î(– ¥; + ¥) і перетворюється на нуль лише в точках х = 0, х = 1, х =3, тому вона в інтервалах (– ¥; 0), (0; 1), (1; 3) і (3; + ¥) зберігає знак. Оскільки f¢ (– 1) > 0, , f¢ (2) < 0,
f¢ (5) > 0, f¢ (х) > 0, якщо х Î(– ¥; 0), f¢ (х) > 0, х Î(0; 1), f¢ (х) < 0, х Î(1; 3), f¢ (х) > 0, х Î(3; + ¥).

Тому функція f (x) зростає на інтервалах (– ¥; 0); (0; 1); (3; + ¥) і спадає на інтервалі (1; 3).

Означення. Функція має при х=х₀ максимум (мінімум), якщо існує такий окіл точки х₀, для усіх точок х якого виконується нерівність: для максимуму,

для мінімуму.

Екстремум функції - це узагальнений термін понять максимуму та мінімуму. Значення аргументу х = х₀, при якому функція має екстремум (максимум або мінімум) називають точкою екстремуму функції (максимуму або мінімуму, відповідно).

Означення. Критичними точками першого роду функції називають точки, в яких не існує або дорівнює нулю.

Рівність називають необхідною умовою існування екстремуму функції . Щоб визначити, в яких з критичних точок функція має екстремум і який саме, використовують достатні умови існування екстремуму.

Достатні умови існування екстремуму функції

Якщо функція диференційовна в околі критичної точки першого роду х = х₀ і її похідна :

1. при х < х₀ - додатна, а при х > х₀ - від’ємна, то в точці х₀ функція має максимум;

2. при х < х₀ - від’ємна, а при х > х₀ - додатна, то в точці х₀ функція має мінімум;

3. зліва та справа від точки х₀ має однаковий знак, то в точці х₀ функція не має екстремуму.

Порядок дій при дослідженні функції на екстремум:

1. знаходять похідну заданої функції;

2. знаходять критичні точки першого роду (значення х, при яких не існує або дорівнює нулю);

3. визначають знак зліва та справа в околі кожної критичної точки;

4. роблять висновок, чи має функція екстремум і який саме у знайдених критичних точках;

5. обчислюють екстремальні значення функції в точках екстремуму.

Дослідження функції на екстремум доцільно виконувати з використанням таблиці по аналогії з наведеним нижче прикладом.

Знайти екстремуми функції

у = 2 х ³ – 9 х ² + 12 х + 5.

Розв’язання. Знаходимо похідну: = 6 х ² – 18 х + 12 = 6(х – 1) (х – 2)

Знаходимо критичні точки першого роду: із рівності

6(х – 1)(х – 2) = 0 х ₁ = 1, х ₂ = 2.

Інших точок не має, тому що визначена при всіх .

Критичні точки х ₁ та х ₂ поділяють область визначення функції на інтервали постійного знаку похідної (критичні точки та відповідні інтервали записуємо у перший рядок таблиці 1).

Визначаємо знак в кожному інтервалі (записуємо ці знаки у другий рядок таблиці 1).

Згідно з достатніми умовами існування екстремуму функції робимо висновок відносно кожної критичної точки (характер поведінки функції вказуємо у третьому рядку таблиці 1).

x			(1, 2)
	+		—		+
		max		min

Обчислимо максимальне та мінімальне значення функції:

;

.

Поиск по сайту: