|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменнымиЗлатоустовский торгово-экономический техникум Учебно-методическое пособие высшая математика
«Дифференциальные уравнения» Златоуст 2007г. Оглавление
Основные понятия дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка Дифференциальные уравнения 2-го порядка Приложение 1 Приложение №2
Литература
2. Валуце И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. Учебное пособие.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1999г. 3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов.- М.: Наука, 1970-2001, т. 1,2. 4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс Высшей математики.- М.: Наука, 1989. 5. Данко П. Е., Попов А.Г., Кажевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.:Наука,1999,ч.1,2
Основные понятия дифференциального уравнения. Определение. Дифференциальное уравнения - это уравнение, связывающее функционально зависимые переменные и их производные. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Если искомая функция зависит только от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным. Мы будем решать только обыкновенные дифференциальные уравнения. В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение n–го порядка может быть записано в виде F(x, y, y/,y//...y(n))=0, где y(x)- неизвестная функция, F-некоторая функциональная зависимость между независимой переменнойx, функцией y и её производными. Например: дифференциальное уравнение 1-го порядка, - дифференциальное уравнение 2-го порядка, -дифференциальное уравнение 3-го порядка. Определение: Функция, обращающая дифференциальное уравнение в тождество, называется решением этого уравнения. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными. В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать как равенство F(x, y, y′) = 0 Дифференциальное уравнение вида f(x)dx = g(y)dy называют уравнением с разделёнными переменными. Пример. Найти общее решение уравнения xdx+ydy=0 Решение. Разделим переменные, запишем уравнение в виде xdx = -ydy Проинтегрируем обе части уравнения, получим , или , или , . 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными. Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида h(x)g(x) dx - Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделенными переменными достаточно разделить его на произведение Пример. Найти общее решение уравнения y' = 3x – 1 Решение. Представим производную у' как . Уравнение примет вид Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на dx. Полученное равенство проинтегрируем:
Ответ: - общее решение. Пример. Найти решение уравнения y'+y-1=0. Решение. Запишем уравнение в виде: y' = 1 –y. Представим производную у' как . Уравнение примет вид Умножим уравнение на dx и разделим на 1-y≠0. Получим уравнение с разделенными переменными: Найдём интегралы от обеих частей равенства: или Ответ: -решение дифференциального уравнения. Пример. Найти общий интеграл (общее решение) уравнения Вынесем за скобки общие множители: Теперь разделим обе части уравнения на (y2∙x2) и сократим на x2 и y2: Получаем Проинтегрируем обе части отдельно: Общий интеграл (решение) уравнения имеет вид: Преобразуем по свойству логарифмов и получим: Ответ: -решение уравнения.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |