Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка.
Такое уравнение подстановкой сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Разделим правую часть уравнения (числитель и знаменатель) на x2. Получим уравнение .
Выполним подстановки или в дифференциальной форме . После этого уравнение примет вид:
Перенесем t в правую часть и приведём дроби к общему знаменателю, то есть
По основному свойству пропорции можно записать . Разделим обе части уравнения на (t3∙x) и получим или .
Проинтегрируем обе части равенства:
Выполним обратную подстановку и получим общее решение дифференциального уравнения. Так как y = xt, то .
Выразим Cy, получим
Ответ:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Поиск по сайту:
|