Матеріальні рівняння

Лекція №10 Система рівнянь Максвела

Система рівнянь Максвела та їх властивості

Матеріальні рівняння

ü Система рівнянь Максвела та їх властивості

Система рівнянь Максвела є математичним та теоретико-фізичним описом властивостей електромагнітного поля. Як вже підкреслювалося неодноразово у нашому курсі електричне та магнітне поле є лише різними векторними компонентами єдиного електромагнітного поля і відмінності поміж цими компонентами мають не абсолютний, а лише відносний характер.

У системі рівнянь Максвела можна виділити пару рівнянь, які описують потоки потенційного електричного та вихрового магнітного полів:

	(1)
	(2)

Перше з цих рівнянь є так званою теоремою Гауса: „Потік напруженості стаціонарного електричного поля крізь довільну замкнену поверхню прямо пропорційний сумарному електричному зарядові, який охоплюється цією поверхнею”. Рівняння (1) записане для випадку, коли стаціонарне електричне поле створене дискретною системою точкових зарядів: , причому заряд - є алгебраїчною сумою заряді, які охоплені поверхнею інтегрування . Для випадку, коли заряд розподілений в середині поверхні інтегрування безперервно з об’ємною густиною маємо:

(1а)

В загальному випадку потік напруженості поля не є нульовим, якщо заряд всередині поверхні інтегрування не є нульовим. Зауважимо, що величина потоку не залежить від форми поверхні .

Напруженість електричного поля, котра фігурує в інтегралах (1,2) є напруженістю стаціонарного (отже, і потенційного) електричного поля. Силові лінії такого електричного поля мають джерела та стоки: це позитивні та негативні електричні заряди. Для стаціонарного потенційного електричного поля маємо нульову циркуляцію уздовж будь-якої замкненої лінії ():

(3)

Друге рівняння Максвела (2) стверджує, що магнітний потік, навпаки, є нульовим крізь будь-яку замкнену поверхню. І це рівняння віддзеркалює властивість силових ліній магнітного поля бути замкненими на собі. Іншими словами воно проголошує відсутність магнітних зарядів у природі.

Якою б не була замкнена поверхня , кожна силова лінія магнітного поля входить в цю поверхню стільки ж разів (даючи при кожному вході позитивний внесок в потік), скільки разів виходить (даючи при виході від’ємний, негативний внесок у потік). Отже силові лінії магнітного поля не мають точок розриву, не мають джерел, або стоків. Векторні поля з такою властивістю отримали назву вихрових полів. Магнітне поле є типовим вихровим полем.

Два інших рівняння Максвела стосуються циркуляцій силових характеристик вихрового електричного та вихрового магнітного поля по довільному замкненому контуру ():

	(4)
	(5)

Перше з цих рівнянь є рівнянням Фарадея для електромагнітної індукції. Зауважимо, що електричне поле , яке фігурує у рівнянні (4) не є стаціонарним електричним полем, це вихрове електричне поле, яке виникає під час електромагнітної індукції. Його силові лінії подібні до ліній магнітного поля і замкнені самі на собі. Тому циркуляція цього поля по замкненій лінії не є нульовою, як у випадку стаціонарного електричного поля (3) Вона дорівнює ЕРС індукції, тобто . Потік вихрового електричного поля, зрозуміло, є нульовим: , аналогічно вихровому магнітному полю. Отже на відміну від магнітного поля, яке є за визначенням вихровим, електричне поле має дві складові:

(6)

Причому одна з цих складових є потенційним, безвихровим полем (), у той самий час як інша складова () є вихровим полем. Ці складові електричного поля мають різні джерела: якщо поле є породженням електричних зарядів, то поле генерується змінним магнітним полем за рахунок явища електромагнітної індукції.

Четверте рівняння Максвела (5) є так званою теоремою про циркуляцію вектора індукції магнітного поля. Така циркуляція дорівнює сумі двох факторів: перший фактор пропорційний алгебраїчній сумі всіх сил струмів провідності, котрі охоплюються контуром інтегрування . Другий фактор є ненульовим лише при зміні потоку електричного поля крізь поверхню, яка обмежена контуром інтегрування . Зверніть увагу: в цьому рівнянні фігурує змінний потік безвихрового електричного поля , тому що вихрове електричне поле має нульовий потік, як це з’ясовано вище.

Четверте рівняння Максвела відображує той фізичний факт, що джерелом магнітного поля (вихрового!) можуть бути як струми провідності (звичайний механічний рух зарядів), так і змінне електричне поле, яке не пов’язано прямо з механічним рухом зарядів. Останній ефект є інверсійним (зворотнім) відносно явища електромагнітної індукції. Величину часто називають струмом зміщення (струм Ейхенвальда).

Струм зміщення виникає, наприклад, у проміжку поміж обкладинками конденсатора (рис.1), якщо заряд та напруженість поля в ньому змінюються – тобто конденсатор розряджається. Тоді магнітна стрілка вміщена поміж обкладинками реєструє наявність магнітного поля, хоча жодні заряди в проміжку поміж обкладинками не рухаються (вони рухаються у провідникові, який замикає обкладинки ззовні). Ейхенвальд експериментально довів існування струму зміщення, оскільки зафіксував його магнітне поле через вплив на магнітну стрілку.

Рівняння Максвела легко можуть бути переведені з інтегральної форми, розглянутої вище в диференціальну форму, якщо скористуватися відомим нам інтегральними теоремами, які пов’язують поміж собою відповідно потоки та дивергенції силових характеристик поля, а також циркуляції та ротори цих характеристик. Таблиця 1 дає уявлення про інтегральну та диференціальну форму рівнянь системи Максвела (див. таблицю №1)

ü Матеріальні рівняння

Система рівнянь Максвела містить в собі характеристики середовища, в якому існує електромагнітне поле. А саме, вона містить параметри - діелектричну проникливість середовища, та - магнітну проникливість середовища. Якби ми виписували систему рівнянь Максвела для поля у вакуумі, то повинні були б писати її з урахуванням наступних властивостей вакууму:

(7)

У вакуумі зв’язок поміж силовими характеристиками електричного та магнітного полів є особливо простим:

(8)

З останнього рівняння видно, що у вакуумі вектори індукції та напруженості співпадають один з одним за напрямами, причому як для магнітного, так і для електричного полів. Вектори поляризації та намагніченості вакууму, зрозуміло є нульовими:

(9)

адже електрична та магнітна сприйнятливості вакууму, очевидно, також є нульовими.

Проте, у матеріальних середовищах, тобто речовинах, зв’язок поміж векторами індукції та напруженості є складнішим, а відповідні сприйнятливості є ненульовими. Тому, раніше ніж застосовувати рівняння Максвела у реальному середовищі, потрібно описати властивості такого середовища, його реакцію на зовнішнє електромагнітне поле, тобто вказати зв’язок поміж векторами індукції та напруженості. Такі рівняння називають матеріальними рівняннями:

(10)

де під величинами , можна розуміти просто деякі скалярні параметри середовища.

Нагадаємо, що вектор називають індукцією електричного поля, або ще вектором електричного зміщення. Неважко бачити, що вектор не змінюється при переході з одного середовища до іншого (тобто при зміні величини діелектричної проникливості: ), отже лишається неперервним, тоді як вектор напруженості електричного поля в таких умовах стрибком змінюється на кордоні середовищ (має розрив першого роду)

Аналогічна допоміжна характеристика для магнітного поля має назву напруженість магнітного поля . Вона також не змінюється на кордоні двох середовищ (), тоді як вектор індукції магнітного поля у таких умовах на кордоні двох середовищ має розрив першого роду.

Рекомендована література:

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Том II. Электричечтво – М.: Наука, 1988 – с.153-180.

2. Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальна фізика: Електрика і магнетизм. – К.: Вища шк., 1995. – с.260-293.

3. Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики. Кн. 1. Фізичні основи механіки. Електрика і магнетизм. – К.: Либідь, 2001. – с.346-274.

4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: – М.: Высш.шк.., 1989. – с.261-162.

Таблиця 1. Різні форми системи рівнянь Максвела

Інтегральна форма рівняння Максвела	Диференціальна форма рівняння Максвела	Примітки
		- об’ємна густина зарядів; потенціальне поле
		вихрове поле
		вихрове поле
		- густина струму провідності; - густина струму зміщення;

Поиск по сайту: