Лекція № 5. Взаємне положення прямої та площини, двох площин

План лекції

1. Паралельність прямої та площини.

2. Паралельність двох площин.

3. Перпендикулярність прямої та площини.

4. Перпендикулярність двох площин.

5. Перпендикулярність двох прямих загального положення.

1. Паралельність прямої та площини. Пряма паралельна до площини, якщо вона паралельна до будь-якої прямої цієї площини. Для рішення задачі необхідно:

1) в площині побудувати пряму загального положення;

2) виходячи з умов паралельності двох прямих, побудувати необхідну пряму.

Приклад 1: Через т. А побудувати l║∑, l є A.

m є ∑

1. l₂║m₂

2. l₁║m₁

──────

Рис. 5.1 l║∑ (рис. 5.1).

Приклад 2: Через т. А побудувати площину ∆, паралельно l.

1. a₂ є А₂

а₂║l₂

. a₁ є А₁

а₁║l₁

2. b₂ є А₂

b₁ є А₁

──────

Рис. 5.2 ∆ (a×b)║l (рис. 5.2).

Приклад 3: Перевірити паралельність прямої l до Г.

n₂║l₂

1. n₂×m₂=1₂

2. 1₁ є m₁

3. n₁╫l₁

──────

l╫Г(A, m) (рис. 5.3).

Конкретне рішення кожної геометричної задачі залежить від положення проекцій геометричних образів. Рис. 5.3

2. Паралельність двох площин. Дві площини паралельні, якщо дві пересічні прямі однієї площини паралельні двом пересічним прямим іншої площини. Якщо площини задані слідами, то у паралельних площин мають бути паралельні сліди.

Приклад 1: Через т. А побудувати ∑║∆, ∑ є А.

∆(l×m)

1. a₂║l₂, a₂ є A₂

2. b₂║m₂, b₂ є A₂

3. a₁║l₁, a₁ є A₁

4. b₁║m₁, b₁ є A₁

─────────

∑(a×b) ║∆(l×m) (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Приклад 2: Через т. А побудувати Г ║Θ, Г є А.

План рішення:

1. через т. А будують пряму рівня паралельно Θ;

2. будують слід цієї прямої:

1. h є А

2. h║Θ

3. F₁F₂×h₂=F

4. Гп₂ є F

Гп₂║Θп₂

5.Гп₁║h║Θп₁

────────────

Рис. 5.5 Г║Θ (рис. 5.5)

3. Перпендикулярність прямої та площини. Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох пересічних прямих цієї площини. За пересічні прямі необхідно використати фронталь та горизонталь, тоді l₂┴f₂, a l₁┴h₁.

Приклад. Через т. А побудувати l┴∑(∆ABC).

1. h є АВС

2. f є АВС

3. l₁┴h₁

l₁ є А₁

4. l₂┴f₂

l₂ є A₂

──────────

5. l┴∑(∆ABC) (рис. 5.7).

Рис. 5.7

4. Перпендикулярність двох площин. Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них має перпендикуляр до другої площини. Рішення задачі складається з двох етапів.

1) Будують пряму, перпендикулярну до заданої площини

2) До прямої перпендикуляру добудовують іншу пряму довільного положення. Дві пересічні прямі і сформують площину, перпендикулярну до заданої.

Приклад: Побудувати ∆┴∑, ∆ є А.

1. l₂ є А₂

l₂┴∑п₂

2. l₁ є А₁

l₁┴∑п₁

3. m₂ є A₂

m₁ є A₁

─────────

∆(m×l) ┴∑ (рис. 5.8).

Рис. 5.8

5. Перпендикулярність двох прямих загального положення. Дві прямі загального положення взаємно перпендикулярні, якщо одна з них належить до площини, перпендикулярної до іншої прямої.

Приклад (рис.5.9). Через т. А побудувати l┴m.

План рішення:

1) через т. А будуємо Г є А, Г┴m, площину Г задають пересічними f та h, при цьому:

1. f₂┴m₂

2. h₁┴m₁

h₂║x║f₁

2) будуємо точку перетину прямої m і Г, для цього пряму заключають у допоміжну горизонтально-проекцюючу площину, будують точки перетину.

1. m є ∑

∑┴П₁

2. ∑┴Г=1,2

3. 1₁2₁

4. 1₂ є h₂

2₂ є f₂

5. 1₂2₂×m₂=K₂

K₁ є m₁

6. A₂K₂ – l₂

A₁K₁ – l₁

────────

l ┴m

(рис. 5.9).

Контрольні питання.

1. Як побудувати пряму паралельно до заданої площини?

2. Сформулюйте умову паралельності двох площин.

3. Назвіть умову перпендикулярності прямої та площини, двох площин.

Поиск по сайту: