Дельта-функція

Числовою характеристикою імпульсу може служити визначений інтеграл . Це функціонал, бо функції ставиться у відповідність деяке число. Із множини всіх імпульсів , в першу чергу, виділмо такі імпульси тривалості , у яких . Для зручності розглянемо прямокутний імпульс (рис. 2.22).

Рис. 2.22. Прямокутний імпульс

Так як тривалість початкового прямокутного імпульсу , а його площа дорівнює одиниці, то його висота дорівнює . Спрямуємо . При цьому площа імпульсу залишається рівною одиниці, а його висота . Отже, , хоча . Тим самим ми одержали нескінчену величину, яка має числову характеристику, що дорівнює одиниці.

Дельта-функція або функція Дірака вводиться як функція-границя, до якої прямують імпульси з одиничною площею при звуженні їх тривалості до нуля

. (2.48)

Дельта-функція задається виразом

(2.49)

При умові, що

. (2.50)

Математичний зміст дельта-функції визначається не лише виразом (2.39) та інтегралом (2.50), а й тими властивостями функцій , які відповідають граничному переходу (2.48). Властивості дельта-функції, в першу чергу, пов’язані з певними операторними співвідношеннями. Тобто, d -функція наділяється тими властивостями, які проявляються у використанні її при інтегруванні.

Хоча дельта-функція зосереджена в точці , вона вважається парною функцією:

. (2.51)

Це твердження випливає із процесу граничного переходу, коли , але все ж таки . При цьому - парна функція.

Крім того,

, . (2.52)

Тут бажано осмислити, чому розглядається модуль . Обчислимо інтеграл . Зробимо заміну , згідно якої . Тоді

. (2.53)

Нехай . Тоді (2.53) набуде вигляду

. (2.54)

Згідно (2.54) є непарною функцією, що протирічить умові (2.51). Це протиріччя можна усунути, якщо в правій частині (2.53) замість брати його модуль . Дійсно, підставимо значення у формулу (2.52) і одержимо умову (2.51).

Дельта-функцію умовно зображають у вигляді одиничного вектора в момент дії імпульсу (рис. 2.23, а). Хоча має нескінчене значення, її мірою є інтеграл (2.50). Як і будь-яка функція, може бути зміщена.

Рис. 2.23. Дельта-функція

На рис. 2.23, b зображена з випередженням (), а на рис. 2.23, с − із запізненням (). Якщо характеризує імпульс, площа якого в а разів відрізняється від одиниці, то мова буде йти про функцію. На рис. 2.23, d зображено сигнал .

Найважливішою є фільтрувальна властивість дельта-функції, яка записується у вигляді інтегралу

, (2.55)

де функція неперервна в околі точки .

Добуток при всіх значеннях . При він дорівнює , тому

.

Отже, якщо підінтегральний вираз є добутком функцій і , то результат інтегрування буде дорівнювати значенню функції в точці визначення d -функції.

За допомогою короткочасного імпульсу можна одержати миттєве значення функції , що дозволяє здійснювати дискретизацію сигналів.

Графічно і схематично процедура дискретизації зображена на рис. 2.24.

Рис. 2.24. Дискретизація сигналів

Процедура, що відповідає інтегралу (2.55), пропускає через коло лише значення функції . Пропускати означає фільтрувати, звідси і назва цієї властивості дельта-функції.

В частковому випадку коли , а , дискретне значення , тому

. (2.56)

Диференціюючи добуток , одержимо

. (2.57)

Звичайно властивості (2.56) і (2.57) теж отримують зміст лише при інтегруванні їх з достатньо гладкими функціями.

Між дельта-функцією і функцією вмикання існує взаємно-однозначна відповідність, яка визначається формулами:

, (2.58)

. (2.59)

Дельта-функції широко використовуються в задачах математичної фізики. В цих задачах замість розподілених використовуються зосередженні фізичні величини (сила, заряд, маса тощо), що визначаються шляхом інтегрування і подаються з допомогою дельта-функції. В цифровій обробці сигналів широко використовуються саме інтегральні характеристики сигналів. Тому, при переході від аналогового до дискретного сигналу саме в дискретних значеннях повинен зберігатись інтегральний зміст характеристик. І це можна робити з допомогою дельта-функцій.

Дискретним аналогом дельта-функції є цифровий одиничний стрибок.

Поиск по сайту: