Розв’язування

.

Приклад 2.10. Задано трикутний імпульс напруги з амплітудою U. Тривалість імпульсу (рис. 2.38). Обчислити енергію та відповідну норму заданого сигналу .

Розв’язування. Математичну модель сигналу запишемо у вигляді аналітичного виразу:

Енергія сигналу (імпульсу):

.

Відповідна даній енергії норма імпульсу

.

Приклад 2.11. Визначити енергію та відповідну норму радіоімпульсу з прямокутною формою огинаючої. Радіоімпульс існує на інтервалі і описується функцією .

Довідка. Для здійснення передачі сигналу на значні відстані без суттєвих втрат інформації, його помножують на високочастотну гармоніку , тобто передають у вигляді високочастотної гармоніки із змінною амплітудою . Після передачі сигналу , який називають радіоімпульсом, його фільтрують і знов одержують сигнал , який називають відеоімпульсом. Проілюструємо це у вигляді графіків (рис. 2.39).

Рис. 2.39.

Розв’язування. Так як радіоімпульс має сталу амплітуду U ₀, то він має прямокутну форму, що визначається огинаючими U = ± U ₀ (рис. 2.40).

Рис. 2.40.

Визначимо енергію радіоімпульсу:

.

Тут була здійснена заміна , тому , а . Якщо w ₀ достатньо велике, таке що , то енергія радіоімпульсу

.

Тобто значення енергії радіоімпульсу при високій частоті несучої гармоніки практично не залежить від початкової фази та самого значення . Звідси особлива роль енергетичної характеристики.

Норма радіоімпульсу

.

Зауваження. При визначенні інтегралу скористались його табличним значенням.

Корисно запам’ятати, що

;

.

Приклад 2.12. Задано відеоімпульс у вигляді півперіоду синусоїди на відрізку , висота якого U (рис. 2.41).

		Підібрати амплітуду А прямокутного імпульсу тієї ж тривалості TS так, щоб відстань між двома сигналами та була мінімальною. Знайти при цьому кут між сигналами.

Рис. 2.41. Відеоімпульс

Розв’язування. Аналітичну форму сигналів запишемо у вигляді

При визначенні на інтервалі була використана пропорція

.

Знайдемо квадрат відстані між сигналами:

.

Обчислимо кожний із трьох інтегралів окремо.

.

.

.

Отже,

. (1)

Умова мінімальної відстані в залежності від А має вигляд

.

Звідки

. (2)

Визначимо , підставивши (1) в (2).

.

.

Знайдемо енергію імпульсів:

;

;

.

Визначимо норми сигналів:

; .

Знайдемо кут між сигналами

.

Отже, .

Приклад 2.13. Дано дві тривимірні вибірки: x (n)= (4; −4; 7)та y (n)= (3; −2; 6). Знайти відстань і кут між вибірками та складову вибірки х в напрямку вибірки у.

Розв’язування. Вибірку ототожнюємо із тривимірними векторами. Визначимо норми вибірок:

.

.

Знайдемо відстань між вибірками як їх метрику

.

Скалярний добуток вибірок

.

Знайдемо кут між вибірками

.

Одиничний вектор в напрямку вибірки y:

.

Тому, складова вибірки x в напрямку вибірки y дорівнює:

.

Приклад 2.14. Сигнали та прямокутні відеоімпульси з амплітудами А ₁ та А ₂, тривалості Т ₁ та Т ₂ зображені на рис. 2.42. Обидва сигнали одночасно відрізняються від нуля на інтервалі t. Визначити
кут між сигналами.

Рис. 2.42.

Розв’язування. Спочатку знайдено скалярний добуток сигналів:

.

Визначимо норми сигналів:

;

.

Визначимо кут між сигналами:

.

Як бачимо, величина кута між прямокутними імпульсами не залежить від їх амплітуд А ₁ та А ₂.

Приклад 2.15. Задані два сигнали: прямокутний відеоімпульс та експоненціальний відеоімпульс Вважаючи тривалість Т прямо­кутного імпульсу фіксованою, визначити величину метрики .

Розв’язування. Знайдемо квадрат відстані між сигналами:

.

.

.

.

Отже,

.

Величина метрики як відстань між сигналами дорівнює

.

2.9. Контрольні питання

1. Що таке сигнал?

2. Для чого потрібна математична модель сигналу?

3. Назвіть п’ять основних етапів математичного моделювання сигналів.

4. Назвіть три види аналітичної форми математичної моделі сигналу.

5. Роль типових сигналів в цифровій обробці.

6. Зробіть перелік типових неперервних, кусково-неперервних та дискретних сигналів.

7. Зобразити графічно та подати аналітично наступні типові сигнали: функцію одиничного стрибка , дельта-функцію , цифрового одиничного стрибка , цифрового одиничного імпульсу .

8. Чому називають функцією включення? Навести приклади.

9. В чому полягає фільтруюча властивість d -функції?

10. Чому дорівнює інтеграл добутку аналогової функції та ?

11. Який зв'язок існує між функціями та ?

12. В чому полягає дискретизація аналогового сигналу?

13. Дискретний одиничний стрибок та його властивість як функція включення.

14. Дискретний одиничний імпульс та його фільтруюча властивість.

15. Запишіть в аналітичній формі зв'язок між та при прямому та зворотному переході.

16. Представлення дискретної послідовності { x (n) } з допомогою функції u ₀ (n).

17. Зміщення аналогового сигналу в часі при додатному та алгебраїчному значенні величини зміщення t.

18. Зміщення дискретного сигналу в часі при додатному зміщенні m.

19. Вибірка { x (n) } об’ємом N як N -вимірний вектор .

20. Умова ортонормованості векторів.

21. Що таке норма вибірки і як вона визначається?

22. Що таке метрика двох вибірок і як вона визначається?

23. Скалярний добуток двох вибірок.

24. Чому дорівнює кут між двома вибірками?

25. В чому полягає граничний перехід від N -вимірного до нескінчено-вимірного простору вектор функцій?

26. Норма сигналу.

27. Метрика сигналів.

28. Скалярний добуток двох функцій.

29. Як скалярний добуток залежить від вибору норми?

30. Як визначається кут між двома сигналами.

31. Визначення повної енергії сигналу.

32. Визначити взаємну енергію двох сигналів.

33. Як визначається середня потужність різного типу сигналів.

34. Потужність сигналу.

35. Взаємна потужність двох сигналів.

36. Вкажіть два способи введення норми сигналів та як визначається при цьому скалярний добуток.

37. Запишіть формулу визначення норми N -вимірної вибірки через її середньоквадратичне (діюче) значення.

38. Запишіть в інваріантній формі формулу визначення кута між сигналами.

39. Що таке функціональний простір сигналів?

Поиск по сайту: