 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Системи та сукупності рівнянь з двома змінними та способи (алгебраїчні та графічні) їх розв’язування
4. Нехай дано два рівняння з двома змінними 
і 
. Говорять, що вони утворюють систему рівнянь з двома змінними, якщо потрібно знайти всі пари чисел, при підстановці яких в кожне рівняння системи воно перетворюється в правильну числову рівність. Якщо потрібно знайти всі пари чисел, при підстановці яких хоча б в одне рівняння воно перетворюється в правильну числову рівність, то говорять про сукупність двох рівнянь з двома невідомими. Таким чином, приймемо наступні означення.
Означення: системою двох рівнянь з двома невідомими називається кон’юнкція двох рівнянь з двома змінними.
Означення: сукупністю двох рівнянь з двома невідомими називається диз’юнкція двох рівнянь з двома змінними.
Систему двох рівнянь з двома невідомими, яка складається із рівнянь 
і символічно позначають так: 
або Ù (І). Сукупність двох рівнянь з двома невідомими, яка складається із рівнянь f1(х;у)=g1(х;у) і f2(х;у)=g2(х;у) символічно позначають так: f1(х;у)=g1(х;у)Úf2(х;у)=g2(х;у) або
f1(х;у)=g1(х;у)
f2(х;у)=g2(х;у). (ІІ).
Означення: пара чисел 
, при підстановці яких в кожне рівняння системи замість змінних 
і 
, ми одержуємо правильні числові рівності називається розв’язком системи (І).
Означення: пара чисел , при підстановці яких хоча б в одне рівняння сукупності замість змінних і , ми одержуємо правильну числову рівність називається розв’язком сукупності (ІІ).
Множину всіх таких пар називають множиною розв’язків відповідно даної системи чи даної сукупності. Як видно, множина розв’язків системи є перетином множин розв’язків обох рівнянь системи, а множина розв’язків сукупності є об’єднанням множин розв’язків обох рівнянь сукупності. Система рівнянь являє собою кон’юнкцію цих рівнянь, бо система рівнянь буде мати розв’язки тоді, коли існує така пара чисел, що обидва рівняння перетворюються в правильні числові рівності. Саме тому ми систему рівнянь записуємо і так: 
. Для того, щоб це показати, потрібно довести, що всі розв’язки системи перетворюють кон’юнкцію двох предикатів в істинне висловлення, і навпаки, всі значення при яких кон’юнкція предикатів істинна, перетворюють кожен із них в правильне висловлення, тобто в правильну числову рівність. Нехай пара чисел є розв’язком системи. Тоді при підстановці чисел 
і 
замість і ми будемо мати дві істинні числові рівності, тобто кон’юнкція f1(х0;у0)=g1(х0;у0)Ù f2(х0;у0)=g2(х0;у0) буде істинною. Навпаки, якщо із двох рівнянь з двома змінними утворено кон’юнкцію і при підстановці пари чисел вона істинна, то істинні обидва рівняння, а отже пара чисел є розв’язком системи 
.
Сукупність рівнянь являє собою диз’юнкцію цих рівнянь, бо сукупність рівнянь буде мати розв’язки тоді, коли існує така пара чисел, що хоча б одне рівняння перетворюються в правильну числову рівність. Саме тому ми сукупність рівнянь записуємо і так: f1(х;у)=g1(х;у)Úf2(х;у)=g2(х;у). Для того, щоб це показати, потрібно довести, що всі розв’язки сукупності перетворюють диз’юнкцію двох предикатів в істинне висловлення, і навпаки, всі значення, при яких диз’юнкція предикатів істинна, перетворюють хоча б одне із них в правильне висловлення, тобто в правильну числову рівність. Нехай пара чисел є розв’язком сукупності. Тоді при підстановці чисел і замість і ми будемо мати принаймні одну істинну числову рівність, тобто диз’юнкція f1(х0;у0)=g1(х0;у0)Úf2(х0;у0)=g2(х0;у0) буде істинною. Навпаки, якщо із двох рівнянь з двома змінними утворено диз’юнкцію і при підстановці пари чисел вона істинна, то принаймні одне рівняння перетвориться в істинну числову рівність, а отже пара чисел є розв’язком сукупності (ІІ).
Означення: розв’язати систему рівнянь – це означає знайти множину її розв’язків.
Означення: розв’язати сукупність рівнянь – це означає знайти множину її розв’язків.
Означення: дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо вони визначені на одній множні та всі розв’язки однієї системи рівнянь є розв’язками другої і навпаки.
Означення: дві сукупності рівнянь називаються рівносильними, якщо вони визначені на одній множині та всі розв’язки однієї сукупності рівнянь є розв’язками другої і навпаки.
Дві системи чи сукупності рівнянь можуть бути рівносильними в одній числовій області і нерівносильними в іншій. До алгебраїчних методів розв’язування систем рівнянь відносять такі методи:
а) метод підстановки. Суть цього методу полягає в тому, що одне із рівнянь системи замінюють рівносильним йому рівнянням, але таким, в якому визначене одне із невідомих, і підставляють у друге рівняння. Внаслідок такої підстановки друге рівняння стає рівнянням з однією змінною.
Вправа: розв’язати систему рівнянь: х-2у=3Ù3х-5у=7.
Поиск по сайту: