АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Средствами матричного исчисления

Читайте также:
  1. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  2. Анализ обеспеченности оборотными средствами
  3. Глава 4. Управление оборотными средствами (капиталом) предприятия.
  4. ГЛАВА 4. УПРАВЛЕНИЕ ОБОРОТНЫМИ СРЕДСТВАМИ (КАПИТАЛОМ) ПРЕДПРИЯТИЯ.
  5. Доверительное управление денежными средствами
  6. Как минимум предприятие должно располагать денежными средствами в размере, превышающем
  7. Обеспечение работников средствами индивидуальной защиты, смывающими и обезвреживающими средствами.
  8. Особенности управления денежными средствами предприятия
  9. Побудова економетричної моделі на основі матричного оператора 1 МНК, пакет «Excel».
  10. Под речью мы понимаем процесс передачи информации, пользующийся средствами языка.
  11. Практическая работа со средствами коллективной защиты, установленными на танке (ПРХР, ПКУЗ, ФВУ, ФВУ-А, исполнительными механизмами средств коллективной защиты объекта).
  12. Практическая тренировка в работе со средствами коллективной защиты.

Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r (A) =r (A1), где

, .

Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.

 

~

Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки:

~ ~

Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

~

Разделим элементы третьей строки на (10).

~ ; ~ .

Найдем определитель матрицы А.

.

Следовательно, r (A) =3. Ранг расширенной матрицы r (A1) так же равен 3, т.е.

r (A) =r (A1)= 3 Þ система совместна.

 

1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход).

2. Из последнего уравнения находим х3 и подставляем его во второе, находим х2, и зная х3, х2 подставляем их в первое уравнение, находим х1 (обратный ход).

Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу

~

в виде системы трех уравнений:

Þ х3=1

х23 Þ х3=1

1=4+х23 Þ 1=4+1+1 Þ

Þ 1=6 Þ х1=3

Ответ: х1=3, х2=1, х3=1.

2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

; ; .

Вычислим определитель системы Δ:

Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ1, Δ2, Δ3. Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов.

Находим по формулам неизвестные:

; ;

Ответ: х1=3, х2=1, х3=1 .

3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы.

А×Х=В Þ Х=А-1× В, где А-1 – обратная матрица к А,

- столбец свободных членов,

- матрица-столбец неизвестных.

Обратная матрица считается по формуле:

(*)

где D - определитель матрицы А, Аij – алгебраические дополнения элемента а ij матрицы А. D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле:

Аij= (-1) i+j Mij .

Запишем обратную матрицу.

.

Сделаем проверку по формуле: А-1× А=Е.

 

А-1А =

Вывод: так как произведение А-1× А дает единичную матрицу, то обратная матрица А-1 найдена верно и решение системы определяется по формуле Х=А-1×В.

.

Ответ: х1=3, х2=1, х3=1.

Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим:

Т. к. неизвестные х1, х2, х3 обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.

 

Пример 6. Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы.

Решение:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)