Числовые характеристики случайных величин

Законы распределения являются наиболее полными харак­теристиками случайных величин, но на практике часто затруд­нительно, а иногда и просто излишне, определять законы рас­пределения. При решении многих задач достаточно знания лишь основных суммарных характеристик случайных величин. К та­ким характеристикам в первую очередь относятся: математи­ческое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание.

Рассмотрим пример: бросают одновременно три игральные кости. Случайная величина Х – сумма выпавших очков (X меняется от 3 до 18). Легко проверить, что 18 очков будут в среднем выпадать реже, чем 15 и значительно реже, чем 12 очков. Если усреднить с некоторым «весом», учитывающим частоту появления всех возможных значений величины X, то получим число, называемое её математическим ожиданием и являющееся «центром» распределения возможных значений рассматриваемой случайной величины.

Итак, математическим ожиданием называют характеристику положения случайной величины X, которая равна средневзвешенному возможных её значений. Следует подчеркнуть, что математическое ожидание есть число (неслучайная величина) – центр группирования значений случайной величины, или центр рассеивания.

Для дискретной случайной величины математическое ожи­дание вычисляется по формуле:

m_x = M(X) = , где .

Задача 22. Найти математическое ожидание выигрыша Х задачи 20.

Решение.

1) Пользуясь полученной при решении задачи 20 таблицей, имеем:

М(Х) = 1000×0,0001+100×0,001+10×0,01+0×0,9889 = 0,3 (руб.) = 30 (коп.)

2) Как нетрудно сообразить, М(Х) = 30 коп. есть «справедливая» цена билета.·

Для непрерывной случайной величины математическое ожи­дание вычисляется по формуле:

m_x = M(X) = .

Дисперсия.

Рассмотрим две случайные величины, плотно­сти вероятности которых пред­ставлены на рис. 2.

Рис. 2. Графики функций распределения при различных дисперсиях

Они име­ют одинаковое математичес­кое ожидание, однако значи­тельные отклонения от центра рассеивания у первой случай­ной величины наблюдаются чаще, чем у второй. В этом слу­чае говорят, что первая случай­ная величина имеет большее рассеивание или размытость, чем вторая. В качестве меры рассеивания значений случайной величи­ны используется дисперсия.

Дисперсией называется математи­ческое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D_x = M [ (X – m_x) ²].

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляет­ся по формуле:

D_x = .

Для непрерывной случайной величины дисперсия вычисля­ется по формуле:

D_x = .

Среднеквадратическое отклонение.

Из приведенных формул следует, что размерность диспер­сии есть размерность случайной величины в квадрате. Для прак­тических нужд это не всегда удобно. В этой связи чаще исполь­зуется так называемое среднеквадратическое отклонение: s _x = + .

Задача 23. Пусть закон распределения случайной величины задан таблицей:

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1) М(Х) = 4×(1/4)+10×(1/2)+20×(1/4) = 11

2) D_x

3) s _x ·

Поиск по сайту: