Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u (x) и v (x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d (uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v ’ ∙dx, du = u ’ ∙dx):

.
Примеры:
. .
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде : .

Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
Интегралы вида , , , где P_n (x) - многочлен n -ой степени. Так, для имеем , , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n -кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
Интегралы , где - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f (x), d v = P_n (x) dx, для того, чтобы в интеграле участвовала не f (x), а её производная. Пример: .

Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Найти (это интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов; в предыдущем параграфе мы вычислили этот интеграл с помощью тригонометрической подстановки ).

.
В результате для искомого интеграла мы получили уравнение ,
решая которое, получаем (константа С появилась вследствие того, что интегралы в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной) и (константа переобозначена через С).
Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и (). Например,
. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .
При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = e^ax dx или u = e^ax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением. Примеры:
. Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям: .
Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;

и т.д.

Замена переменной в неопределённом интеграле
(интегрирование подстановкой).

Пусть . Тогда . Здесь t (x) - дифференцируемая монотонная функция.
При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.
1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f (t (x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: , и задача сводится к вычислению интеграла . Например, (задача сведена к вычислению , где t = cos x) (аналогично находится интеграл от ); (задача сведена к вычислению , где t = sin x) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз: (самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg⁴ x ²) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x ² и x ² по своим аргументам)

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате (возвращаемся к исходной переменной) .

Другие примеры:
. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись: = . Рассмотрим (интеграл №19 из табл.). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или , ): . Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие и через косинус двойного угла: . Поэтому
.
Примеры: 1.

.

2.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе.

1. Какая функция называется преобразованной для заданной функции?
2. Почему при интегрировании функции появляется произвольная постоянная?
3. Что называется неопределенным интегралом?
4. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?
5. Как проверить результат интегрирования?

Поиск по сайту: