|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Производная и ее приложения
Основные правила и формулы дифференцирования:
1. y = c, где c=const, . 2. y = x, y'=1. 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. - это правило дифференцирования сложной функции.
Пример 1. Найти производные данных функций а) ; б) ; в) ; г) <1; д) ; е) . Решение: а) Применяя правило дифференцирования дроби и формулы (3); (16), имеем б) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
в) г)
д) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства: или . Теперь дифференцируем обе части, считая lny сложной функцией от переменной x. откуда . е) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную y', надо продифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной y'. Имеем: Из полученного равенства, связывающего х, у и y', находим производную y':
откуда Пример 2. Найти производную второго порядка : а) б) в) Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
откуда (1) Снова дифференцируем по х обе части равенства (1): (2) Заменив y' в (2) правой частью (1), получим . б) Найдем первую производную данной функции . Найдем производную от первой производной, получим вторую производную функции : в) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную y', находим сначала дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов: Тогда Производная второго порядка . Значит, чтобы найти y'', надо найти дифференциал dy': Тогда
Пример 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
Решение: Исследование функции проведем по следующей схеме: 1. Найдем область определения функции. 2. Исследуем функцию на четность и нечетность. 3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. 4. Исследуем функцию на непрерывность; найдем точки разрыва (если они существуют) и установим характер разрыва. 5. Найдем асимптоты кривой у = f(x). 6. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы. 7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
Реализуем данную схему. 1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=±2, т.е. область определения функции D(y) = (-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞). 2. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств для любых х и –х из области определения функции: a) Если f(-x) = f(x), тогда f(x) - функция четная, т. е. ее график симметричен относительно оси О у; b) Если f(-x) = -f(x), тогда f(x) - функция нечетная, т. е. ее график симметричен относительно начала координат т. О(0;0). Итак, , следовательно, данная функция является нечетной. 3. Для нахождения точек пересечения графика функции с осью Ох полагаем у=0; с осью О у — х=0. х=0; у=0. у=0, Т.е., график функции пересекает систему координат в т. О(0;0). 4. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D(у). Найдем односторонние пределы функции в указанных точках: . Т.о., в точках х=±2 функция имеет разрыв второго рода и прямых х = -2 и х = 2 – вертикальные асимптоты графика функции.
5. Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, где Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение у = х.
6. Значение f(x0) называется максимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия f(x0-h)<f(x0) и f(x0+h)<f(x0). Точка х0 называется в этом случае точкой максимума функции f(x) (рис.5).
Значение f(x0) называется минимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия f(x0-h)>f(x0) и f(x0+h)>f(x0). Точка х0 называется в этом случае точкой минимума функции f(x) (рис. 6). Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Необходимое условие экстремума. Если функция f(x) в точке х0 имеет экстремум, то производная f'(x0) обращается в нуль или не существует. Точка х0, в которой f'(x0)=0, называется стационарной точкой. Точки, в которых f'(x)=0 или f'(x) не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a;b), если для любых двух точек х1и х 2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству х1< х 2, выполняется неравенство f(x1)<f(х2). Если же f(x1)>f(х2) при х1< х 2, то функция f(x) называется убывающей в интервале (a;b).
Найдем производную данной функции Найдем критические точки: х1=0; х2=12, х2= х2= . х2≠4, х≠±2 –не входят в область определения функции D(y), значит, экстремума в этих точках быть не может.
Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.
При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум: уmax = у (-2 )= -3 . Значит, А (-2 ;-3 ) - точка максимума. При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свои знаки с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: уmin = у (2 )= 3 . Значит, В (2 ;3 ) - точка минимума.
7. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Если f''(x)<0 в интервале (a;b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f''(x)>0, то в интервале (a;b) график функции - выпуклый. График функции у=f(х) называется выпуклым в интервале (a;b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.7).
График функции называется вогнутым в интервале (a;b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.8).
Точка (х0;f(х0)) графика функции, отделяющая его выпуклую и вогнутую части, называется точкой перегиба.
Найдем вторую производную: y''=0 при х=0 и y'' – не существует при х=±2; которые не входят в область определения функции.
Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:
На интервалах (-∞;-2) и (0;2) y''<0 и дуга кривой выпукла; на интервалах (-2;0) и (2;+∞), y''>0 и тем самым график является вогнутым. При переходе через точку х=0 y'' меняет свой знак, поэтому х=0 - абсцисса точки перегиба. Следовательно, С(0;0) – точка перегиба графика функции.
График исследуемой функции показан на рис.9. Дополнительные точки для построения графика:
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |