АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Производная и ее приложения

Читайте также:
  1. Взаимодействие в месте приложения действия.
  2. Влияние времени приложения напряжения на электрическую прочность газовой изоляции (вольт-секундная характеристика — ВСХ)
  3. Государственное и частное принуждение к исполнению правовых норм: приложения
  4. Графические приложения
  5. Другие приложения, относящиеся к общему программному обеспечению
  6. Если приложения сброшюрованы, количество листов можно не указывать.
  7. ИСХОДНЫЙ КОД ПРИЛОЖЕНИЯ
  8. Модель композиции приложения
  9. Начало практического приложения научного знания
  10. Окна приложения и документа
  11. Окончание приложения Г
  12. Определение реакции грунта и точки ее приложения.

 

Основные правила и формулы дифференцирования:

 

1. y = c, где c=const, .

2. y = x, y'=1.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. - это правило дифференцирования сложной функции.

 

Пример 1. Найти производные данных функций

а) ; б) ;

в) ; г) <1;

д) ; е) .

Решение:

а) Применяя правило дифференцирования дроби и формулы (3); (16), имеем

б) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

 

 

в)

г)

 

д) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

или .

Теперь дифференцируем обе части, считая lny сложной функцией от переменной x.

откуда

.

е) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную y', надо продифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной y'. Имеем:

Из полученного равенства, связывающего х, у и y', находим производную y':

 

 

откуда

Пример 2. Найти производную второго порядка :

а)

б)

в)

Решение:

а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:

 

откуда (1)

Снова дифференцируем по х обе части равенства (1):

(2)

Заменив y' в (2) правой частью (1), получим

.

б) Найдем первую производную данной функции

.

Найдем производную от первой производной, получим вторую производную функции :

в) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную y', находим сначала дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов:

Тогда

Производная второго порядка . Значит, чтобы найти y'', надо найти дифференциал dy':

Тогда

 

Пример 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

 

Решение: Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на четность и нечетность.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследуем функцию на непрерывность; найдем точки разрыва (если они

существуют) и установим характер разрыва.

5. Найдем асимптоты кривой у = f(x).

6. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

 

Реализуем данную схему.

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=±2, т.е. область определения функции D(y) = (-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞).

2. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств для любых х и –х из области определения функции:

a) Если f(-x) = f(x), тогда f(x) - функция четная, т. е. ее график симметричен относительно оси О у;

b) Если f(-x) = -f(x), тогда f(x) - функция нечетная, т. е. ее график симметричен относительно начала координат т. О(0;0).

Итак, , следовательно, данная функция является нечетной.

3. Для нахождения точек пересечения графика функции с осью Ох полагаем у=0; с осью О у — х=0.

х=0; у=0.

у=0,

Т.е., график функции пересекает систему координат в т. О(0;0).

4. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D(у). Найдем односторонние пределы функции в указанных точках:

.

Т.о., в точках х=±2 функция имеет разрыв второго рода и прямых х = -2 и х = 2 – вертикальные асимптоты графика функции.

 

5. Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, где

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение у = х.

 

6. Значение f(x0) называется максимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия f(x0-h)<f(x0) и f(x0+h)<f(x0). Точка х0 называется в этом случае точкой максимума функции f(x) (рис.5).

 

 

Значение f(x0) называется минимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия f(x0-h)>f(x0) и f(x0+h)>f(x0). Точка х0 называется в этом случае точкой минимума функции f(x) (рис. 6).

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.

Необходимое условие экстремума. Если функция f(x) в точке х0 имеет экстремум, то производная f'(x0) обращается в нуль или не существует.

Точка х0, в которой f'(x0)=0, называется стационарной точкой. Точки, в которых f'(x)=0 или f'(x) не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a;b), если для любых двух точек х1и х 2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству х1< х 2, выполняется неравенство f(x1)<f(х2). Если же f(x1)>f(х2) при х1< х 2, то функция f(x) называется убывающей в интервале (a;b).

 

Найдем производную данной функции

Найдем критические точки:

х1=0; х2=12, х2=

х2= .

х2≠4, х≠±2 –не входят в область определения функции D(y), значит, экстремума в этих точках быть не может.

 

Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.

 

х (-∞;-2 -2 (-2 ;-2) (-2;2) (2; 2 2 (2 ;+∞)
у'(x) +   - - -   +
у(x) возрастает -3 убывает убывает убывает 3 возрастает
    max       min  

 

При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум: уmax = у (-2 )= -3 .

Значит, А (-2 ;-3 ) - точка максимума.

При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свои знаки с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: уmin = у (2 )= 3 . Значит, В (2 ;3 ) - точка минимума.

 

7. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.

Если f''(x)<0 в интервале (a;b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f''(x)>0, то в интервале (a;b) график функции - выпуклый.

График функции у=f(х) называется выпуклым в интервале (a;b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.7).

 

График функции называется вогнутым в интервале (a;b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.8).

 

Точка 0;f(х0)) графика функции, отделяющая его выпуклую и вогнутую части, называется точкой перегиба.

 

Найдем вторую производную:

y''=0 при х=0 и y'' – не существует при х=±2; которые не входят в область определения функции.

 

Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:

 

х (-∞;-2) (-2;0)   (0;2) (2;+∞)
y''(х) - +   - +
у(х) U   U

 

На интервалах (-∞;-2) и (0;2) y''<0 и дуга кривой выпукла; на интервалах (-2;0) и (2;+∞), y''>0 и тем самым график является вогнутым.

При переходе через точку х=0 y'' меняет свой знак, поэтому х=0 - абсцисса точки перегиба. Следовательно, С(0;0) – точка перегиба графика функции.

 

График исследуемой функции показан на рис.9.

Дополнительные точки для построения графика:

 

х -3 -5 -1 -1,5
у -5,4 -5,6 -2

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)