|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Неопределенный и определенный интегралы. Для справок приводим таблицу неопределенных интеграловДля справок приводим таблицу неопределенных интегралов. Интегрирование, основное на применение таблицы основных интегралов, основных свойств неопределенного интеграла, а также простейших тождественных преобразований подынтегральной функции, принято называть непосредственным интегрированием. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Пример 1. Найти интегралы: а) б) в) Решение. а) Применяя табличные интегралы, получим:
.
б) Преобразуем подынтегральную функцию и представим заданный интеграл в виде суммы двух других, каждый из которых табличный:
в) Чтобы привести данный интеграл к табличному, выразим стоящую в числителе единицу как sin2x + cos2x и разделим почленно на знаменатель:
Если данный интеграл не является табличным и не может быть найден способом непосредственно интегрирования, то введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к табличному. В этом сущность так называемого метода подстановки.
Пример 2. Найти интегралы, применяя соответствующие подставки: а) б) в) .
Решение. а) Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим t = x2 + 1. Дифференцируя, получим dt = 2xdx, xdx = . Производя замену, получаем: б) Пусть t = arcsin x, тогда ; следовательно, . в) Так как cosxdx есть дифференциал функции sin x, то данный интеграл приводится к табличному так: Пусть u и – дифференцируемые функции от переменной х. Определим дифференциал произведения этих функций: d (u ) = ud + du, откуда ud = d (u ) – du. Проинтегрировав обе части последнего равенства, получим: (1) Эта формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Ей пользуются в тех случаях, когда есть более простой интеграл по отношению к данному интегралу . Пример 3. Найти интегралы: Решение. а) Пусть u = х и dσ = e2xdx, тогда du = dx и σ = . Произвольную потоянную С можно учесть в окончательном ответе. Применяя (1), получаем: б) Пусть u = arc sin x, dσ = dx, тогда +
Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной. Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
I. II. , где m – целое число, m > 1; III. где , т.е. квадратный трехчлен х2 + рх + q не имеет действительных корней; IV. где n – целое число, n > 1; т.е. квадратный трехчлен х2 + рх + q не имеет действительных корней. Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа. Перечисленные дроби соответственно называют соответственно дробями I, II, III и IV типов. Рассмотрим интегралы от простейших дробей I, II, III типов: I. . II. . III. (здесь в знаменателе исходного интеграла выделили полный квадрат и свели к табличному интегралу). IV. - сводится к табличному либо путем различных преобразований подинтегральной функции, либо используя рекуррентную формулу.
Пример 4. Найти интегралы: Решение. а) Данная дробь – правильная, ее знаменатель разложен на простейшие множители. Множителю (х – 1)3 соответствует сумма трех простейших дробей а множителю (х + 3) – простейшая дробь Итак, имеем: Освободимся от знаменателя: х2 + 1 = А(х + 3) + В(х – 1)2(х + 3) + С(х – 1)2(х+3)+ D(x – 1)3 (*)
Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и –3. Полагая в (*) х = 1, получаем, что 2 = 4А или А= Полагая в (*) х = -3, получаем, что 10 = - 64 D или D = . Сравним теперь коэффициенты при старших степенях х в левой и правой частях (*), т.е. при х3. В левой части равенства (*) нет члена с х3, т.е. коэффициент при х3 равен 0. В правой части коэффициент при х3 равен С + D. Итак, С + D = 0, откуда C = Остается определить коэффициент В. Для этого надо иметь еще одно уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при х2) или придав х какое-нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая х = 0, получаем из равенства (*): 1 = 3А – 3В + 3С – D или т.е. Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид: Таким образом, получим:
б) Разложим знаменатель дроби на множители: х5 – х2 = х2(х3 - 1) = х2(х – 1) (х2 + х + 1). Тогда
Освобождаемся от знаменателя: 1 = А(х – 1)(х2 +х + 1) + В(х – 1)(х2 + х + 1)х + С х2(х2 + х + + 1) + (Dx + E) x2 (x – 1). Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. Из последнего равенства при х = 0 имеем 1 = -А, т.е. А = -1; при х = 1, имеем 1 = 3С, т.е. С = Перепишем предыдущее равенство в виде: 1 = А(х3 – 1) + В(х4 – х) + С(х4 + х3 + х2) + Dx4 +Ex3 –Dx3 – Ex2. Сравнивая коэффициенты при х4, х3, х2, получаем систему уравнений
Итак, Следовательно, в) Так как х2 + 1 есть двукратный множитель, то Освобождаясь от знаменателя, получаем: х3- 2х = Ах + В + (Сх + D) (х2+ 1). Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х: х3: 1 = С, х2: 0 = D, х: -2 = А + С, А = -3, х0: 0 = В + D, В = 0. Следовательно,
г) Выделим целую часть данной неправильной дроби, поделив числитель на знаменатель:
Следовательно, Разложим теперь правильную дробь на простейшие дроби: Освободимся от знаменателей: 8х3 – 16х + 1 = А(х + 2)2+ В(х – 2)(х + 2)2+С(х – 2)2+D(х + 2)(х – 2)2. Принимая в последнем равенстве: х = 2: 33 = 42 А, откуда А= х = -2: -31 = 16 С, откуда С= - х =0: 1 = 4А – 8В + 4С + 8D, откуда –16В + 16D = 1. Для того, чтобы найти В и D, сравнив коэффициенты при х3, получим еще одно уравнение: 8 = В + D. Решим получившуюся систему уравнений: Находим, что Итак, Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.) |