Поняття векторного простору над полем

Практичне заняття № 1

Тема: Скінченновимірні векторні простори над полем

Мета заняття: Засвоїти поняття векторного простору над полем, методикувизначення лінійної залежності та незалежності систем векторів, розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь загального виду.

Короткі теоретичні відомості.

Поняття векторного простору над полем

Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які будемо позначати і нехай – деяке довільне числове поле, елементи якого будемо позначати . Визначимо в множині операцію додавання елементів: і операцію множення елемента на число з поля : .

Означення. Множина називається векторним (лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):

1. – асоціативність додавання;

2. – комутативність додавання;

3. : – існування нульового елемента;

4. : – існування протилежного елемента;

5. – асоціативність множення на число;

6. .

7. – дистрибутивність відносно додавання чисел;

8. – дистрибутивність відносно додавання елементів;

Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором (нуль-вектором).

Найпростіші властивості векторного простору:

1) Єдиність нульового вектора. В векторному просторі існує єдиний нульовий вектор, тобто такий, що : . (аксіома 3)

2) Єдиність протилежного елемента. В векторному просторі для будь-якого вектора існує єдиний вектор такий, що . (аксіома 4)

3) Для будь-якого вектора .

4) Для будь-якого числа і .

5) Якщо добуток , то або , або .

6) Для будь-якого вектора елемент є протилежним до .

Поиск по сайту: