Дифференцирование функции, известной приближенно

Это, наверное, самая старая и известная задача. Если рассматривать исходные данные и решение как элементы пространства , а функция непрерывно дифференцируема, то, положив и , получим, что . И даже если очень мало, величина может быть сделана сколь угодно большой за счет выбора . То есть это некорректная задача. Идея её решения появилась до метода регуляризации и хорошо его иллюстрирует.

Рассмотрим семейство операторов . Пусть функция непрерывно дифференцируема и - точность исходных данных. Таким образом, имеется приближенное значение исходной функции , причём при всех выполнено неравенство . Тогда . При первое слагаемое стремится к производной , а второе слагаемое при всех не превосходит . Если взять, например, , то при . Таким образом, при замене производной разностным отношением приращения аргумента должны быть не слишком малыми по сравнению с погрешностью значений функции, но и не слишком большими, при которых задача теряет смысл. Это и есть регуляризация и её главная проблема: выбор параметра регуляризации.

7. Уравнения Навье Стокса

Комментарий. В августе 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта, в том числе и проблема решения уравнений Навье Стокса. По примеру Гилберта в мае 2000 года Математический институт Клэя в США назвал семь проблем XXI века. Решение уравнений Навье Стокса (1822 год) в общем виде – одна из них.

Уравнения Навье Стокса - это уравнения движения вязкой жидкости. Они представляют собой законы сохранения импульса и массы плюс уравнения состояния, связывающие давление , плотность и закон сохранения энергии.

В простейшем случае они имеют вид: Здесь скорость, кинематическая вязкость, плотность, а . Для уравнений Навье – Стокса

- доказано существование и единственность решения только для плоского и осесимметричного ламинарного течения (при ограниченном и достаточно малом времени t).

-доказано существование, но не доказана единственность решения для пространственных ламинарных течений при малых энергиях и малом времени t и для обтекания препятствий произвольной формы в стационарных потоках двух и трёх измерений.

-при числах Рейнольдса , находящихся в пределах 1600 - 2000 в реальности возникает турбулентный режим, а в теории этого нет.При турбулентном режиме существует исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения: при изменении числа на 0,05 % решения совершенно отличаются друг от друга, а это признак некорректности.

- Хопф (1952г) доказал некорректность задачи Коши для уравнений Навье – Стокса, если скорость течения растёт линейно, а давление – квадратично.

Максимально упрощённое галёркинское приближение уравнений НавьеСтокса, записанных для задачи Бенара и имеет вид: Это система уравнений Лоренца, демонстрирующая стохастическое поведение решения, то есть некорректность в большом. Существуют обоснованные предположения, что динамическая неустойчивость системы уравнений Лоренца связана с проблемой турбулентности и другими проблемами неустойчивых течений в гидро и аэродинамике.

Поиск по сайту: