Приклад 3.2

Записати:

а) рівняння бісектриси AL трикутник ABC;

б) рівняння кола, вписаного в трикутник ABC,

якщо

Згідно властивості бісектриси AL трикутника ABC маємо:

CL: LB = AC: AB = 8: 10 = 4: 5.

Знаходимо координати точки .

Рівняння прямої l має вигляд:

Оскільки центр O кола, вписаного в трикутник ABC, являється точкою перетину бісектрис, то його координати задовольняють систему рівнянь

Отже, рівняння кола вписаного в трикутник ABC має вигляд:

Відповідь: а)

Приклад 3.3. Вектори утворюють кут і

Обчислити

Відповідь: 103

Приклад 3.4. Який кут (у градусах) утворюють одиничні вектори і взаємно перпендикулярні?

Відповідь:

Приклад 3.5. Опуклий чотирикутник поділяється на чотири трикутники; площі трьох з них відповідно дорівнюють 10,20 і 30 , та кожна з цих площ менше площі четвертого трикутника. Знайти заданого чотирикутника.

Нехай

За умовою маємо:

Враховуючи, що запишемо:

Перемноживши ці рівності матимемо:

Підставляючи значення

Тоді

Відповідь: 120

Приклад 3.6. В трикутнику ABC величина кута A вдвічі більше величини кута B, а довжина сторін, протилежних цим кутам, дорівнюють відповідно 12 і 8 см. Знайти довжину третьої сторони трикутника.

Нехай тоді

За теоремою косинусів

За теоремою синусів

Тоді

Відповідь: 10 см.

Приклад 3.7. У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точки дотику поділяють кожну бічну сторону на відрізки довжиною m і n, рахуючи від вершини. До кола проведені три дотичні, паралельні кожній із сторін трикутника. Знайти довжини відрізків дотичних, обмежених сторонами трикутника.

Нехай

AD=AE=n і CD=CG=n, як дотичні до кола, які

входять з однієї точки. Отже,

(SE=SF як дотичні до кола, які виходять з однієї точки) або

або, оскільки

(RE=RP,ND=PN, як дотичні до кола, які входять з однієї точки), то

Відповідь:

Приклад 3.8. У трикутник зі сторонами 6,10 і 12 см вписано коло. До кола проведено дотичну так, що вона перетинає дві більші сторони трикутника. Знайти периметр трикутника який відтинається дотичною.

Нехай

BC=12 см, DE – дотична до кола.

Фігура ABED – описаний чотирикутник, отже,

Підставляючи значення у рівність (*), маємо

Відповідь: 16 см.

Приклад 3.9. У трикутнику ABC задано гострі кути і при основі AC. З вершини B проведені висота BD та бісектриса BE. Знайти площу трикутника BDE, якщо площа трикутника ABC дорівнює S.

За умовою звідки

З прямокутних трикутників BDA і BDC знайдемо

Додавши рівності (2) і (3):

AC=AD+CD=BDctg +BDctg =BD(ctg +ctg ). (4)

Підставляючи значення AC з (4) в (1), отримуємо:

У трикутнику ABC маємо тоді у трикутнику ABE:

Далі, в прямокутному трикутнику BDE маємо:

Тоді площа трикутника BDE дорівнює:

Підставляючи значення з (5) у (6), отримаємо

Скориставшись формулою

знаходимо площу трикутника

Відповідь: .

Поиск по сайту: