Приклад 3.11

На відрізку AC задано точку B, причому AB= 14 см, BC =28 см. На відрізках AB,BC і AC, як на діаметрах, побудовані півкола в одній півплощині щодо AC. Знайти радіус кола, яке дотикається всіх трьох півкіл.

Нехай OB= 7 см, BP= 14 см, AQ= 21см, SF=x см – радіуси відповідних кіл. Точки дотику знаходяться на лініях, які з`єднають центри.

Отже,

Оскільки

За теоремою косинусів:

Тоді

Відповідь: 6 см.

Приклад 3.12. У трапецію, у якої менша основа дорівнює a, вписано коло.

Одна з бічних сторін трапеції поділяється точкою дотику на відрізки довжиною m і n, якщо рахувати від більшої основи. Визначити площу трапеції.

Нехай – радіус кола, вписаного в трапецію ABCD. З`єднаємо центр кола O з точками

Трикутники AOB і COD – прямокутні і

Проведемо Висота, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.

Отже, в трикутнику AOB:

Тоді, висота трапеції

У трикутнику COD:

Порівнявши (1) і (2), отримаємо:

Площа трапеції ABCD дорівнює:

Відповідь:

Приклад 3.13. Навколо кола радіуса R= 1 см описана рівнобічна трапеція, площа якої дорівнює 5 . Знайти площу чотирикутника, вершинами якого служать точки дотику кола та трапеції.

Нехай

Площа трапеції

В опуклий чотирикутник можна вписати коло, тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін чотирикутника рівні. Отже,

З прямокутного трикутника ABP маємо:

Оскільки

Отже, площа чотирикутника дорівнює:

Підставляючи в останню рівність значення маємо:

Відповідь:

Приклад 3.14. Відстань від правильної чотирикутної піраміди до бічної грані і до бічного ребра відповідно дорівнюють a і b. Знайти двогранний кут при основі піраміди.

Нехай SABCD – задана піраміда, SO – висота піраміди.

де через а кут SCO через

З прямокутного трикутника OKM знайдемо:

З прямокутного трикутника CMO, за теоремою Піфагора:

Далі з прямокутних трикутників SOM і SOC знайдемо

Порівнюючи праві частини рівностей (1) і(2), отримуємо,

Тоді

З прямокутного трикутника OTC матимемо

Підставимо значення

Отже,

Відповідь:

Приклад 3.15. Сторони нижньої та верхньої основ правильної трикутної зрізаної піраміди відповідно дорівнюють a і b, (a>b). Бічна грань утворює з площиною основи кут, рівний . Знайти площу перерізу піраміди площиною, який проходить через середню лінію бічної грані і центр нижньої основи.

Нехай задана піраміда,

середня лінія бічної грані центр верхньої основи, O – центр нижньої основи,

Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника ABC, дорівнює

З прямокутного трикутника COQ:

Отже,

Проведемо і з прямокутного трикутника

Далі, з трикутника OKD:

Отже:

Відповідь:

Приклад 3.16. У правильній трикутній піраміді бічна грань має задану площину та утворює з площиною основи кут . При якому значенні відстань від центра основи піраміди до бічної грані буде найбільшою?

Нехай SABC – задана піраміда, ∠SDO=α, де SD ⫠ AC, BD ⫠ AC i AD = CD, OK⫠SD. Позначимо площу бічної грані SAC через S, тоді, згідно властивості ортогональності проекції плоского багатокутника, маємо:

(1)

З прямокутного трикутника ODC знайдемо:

Підставивши це значення у (1), отримаємо:

Отже, з прямокутного трикутника OKD:

Побудуємо функцію, найбільше значення якої потрібно знайти:

У даному випадку кут α – гострий, а, отже, α ϵ(0; ).

Далі задача зводиться до пошуку найбільшого значення функції f(α) на проміжку (0; ).

Відповідь: arctg .

Приклад 3.17. Відношення об’єму зрізаного конуса до об’єму вписаної в нього кулі дорівнює k. Знайти кут між твірною конуса і площиною його основи та допустимі значення k.

Розглянемо осьовий переріз заданих тіл. AA₁B₁B – рівнобічна трапеція, AA₁ = B₁B, O’ – центр вписаного кола, B₁E – висота. Покладемо О’О₁ = О’О = O’D = r, де О’D⫠B₁B, ∠B₁BO = α. Тоді O₁B₁+OB = B₁D+BD = B₁B. З прямокутного трикутника B₁EB:

Далі з прямокутного трикутника B₁O’B( B₁O’B=90°) маємо

B₁D*BD = O’D² ⟺ O₁B₁*OB = r².

Отже, O₁B₁+OB = . За умовою: =k;

Де має бути k > .

Відповідь: .

Приклад 3.18. У конус із заданим об’ємом вписана піраміда; в основі якої лежить рівнобедрений трикутник, у якого величина кута при вершині дорівнює α. При якому значенні α об’єм піраміди буде найбільшим?

Об’єм конуса дорівнює:

де OB – радіус основи конуса і описаного навколо трикутника ABC кола, SO – висота.

Згідно наслідку з теореми синусів, маємо

А за теоремою косинусів, у трикутнику ABC маємо

Враховуючи, що AB = BC, маємо

Побудуємо функцію, найбільше значення якої потрібно знайти:

У цьому випадку α ϵ (0;π). Отже, задача зводиться до відшукання найбільшого значення функції V(α) на проміжку (0;π).

Відповідь:

Приклад 3.19 Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює a, а двогранний кут при основі дорівнює α. Знайти відстань від центра сфери, вписаної в цю піраміду, до бічного ребра.

– задана піраміда, – апофеми, - висота піраміди, - точка дотику кулі до бічної грані . Точка – центр кола, вписаного в трикутник лежить на перетині бісектрис. Отже, - бісектриса кута , тобто

З прямокутного трикутника

А з прямокутного трикутника знайдемо:

Далі, з отримаємо а в прямокутному трикутнику за теоремою Піфагора, визначимо і оскільки то

Тоді з прямокутного трикутника

Оскільки прямокутні трикутники SKO і SO₁D подібні (вони мають спільний кут DSO₁), K основа перпендикуляра упущеного з О на SD, то

Відповідь:

Приклад 3.20 У правильну зрізану трикутну піраміду вписано дві кулі: одна дотикається всіх її граней, друга – всіх ребер. Знайти синус кута між бічним ребром і площиною основи.

Нехай ABCA₁B₁C₁ – задана піраміда. Позначимо: AB=BC=AC=a, A₁B₁= B₁C₁= A₁C₁=a₁, AA₁= BB₁= CC₁= l, де D₁D – апофема, BD⫠AC.

Куля, вписана в піраміду, дотикається її основ ABC і A₁B₁C₁ у центрах О і О₁, а також апофеми D₁D у точці Е.

Проведемо A₁K ⫠AC I C₁T||A₁K. Тоді

З прямокутного трикутника А₁КА, за теоремою Піфагора, знайдемо

Або, оскільки А₁К = D₁D, то

З трикутників А₁В₁С₁ і АВС, знайдемо

Тоді, так як DE=OD i D₁E=O₁D₁, то

Порівнюючи праві частини (1) і (2), отримуємо

Оскільки друга куля дотикається до всіх ребер піраміди, то грань AA₁C₁С перетинає її так, що в перерізі утворюється коло, вписане в трапецію AA₁C₁С. Для того, щоб в опуклий чотирикутник можна було вписати коло, необхідно і достатньо, щоб суми протилежних сторін, цього чотирикутника, були рівні. Отже,

A₁C₁+AC=A₁A+C₁C⇔a₁+a=l+l, a₁+a=2l. (4)

Розв’язуючи рівняння (3) і (4), знайдемо, що при

Далі, проведемо B₁N⫠BN.

Тоді

З прямокутного трикутника В₁ знайдемо:

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату:

Тоді

Відповідь:

Приклад 3.21 Поверхня кулі, вписаної в правильну зрізану трикутну піраміду, відноситься до повної поверхні піраміди, як . Знайти кут між бічною гранню і площиною основи піраміди.

Позначимо А₁В₁=В₁С₁=А₁С₁=а₁, АВ=ВС=АС=а, О₂О₁=О₂О=R, де R – радіус кулі, а О₁ і О – центр трикутників ABC і A₁B₁C₁. Знайдемо точки О₂ і D, О₂ і D₁, де О₂ – центр кулі.

Розглянемо осьовий переріз DD₁В₁В заданих тіл:

O₁D₁+OD=D₁K+DK= D₁ D

і з прямокутного трикутника D₁ED () знайдемо

Далі, в прямокутному трикутнику () знайдемо:

D₁K*DK=O₂K²(O₂K⫠D₁D);

O₁D₁*OD=R².

За умовою,

Тоді отримуємо:

Отже (1) матиме вигляд:

Відповідь:

Поиск по сайту: