Розділ 2. Тригонометрія

Приклад 2.1. Довести тотожність .

Тому , що й треба було довести.

Приклад 2.2. Довести тотожність

.

що й треба було довести.

Приклад 2.3. Спростити вираз .

За умовою .

Розіб’ємо цей проміжок на два і .

Тоді при маємо , тому

.

При маємо , тому

.

Відповідь: , якщо ; , якщо .

Приклад 2.4. Довести, що коли – внутрішні кути трикутника ,то справджується рівність

.

Спочатку виключимо кут , а після перетворень виразу знову покладемо .

що й треба було довести.

Приклад 2.5. Довести рівність .

що й треба було довести.

Приклад 2.6. Обчислити вираз .

Відповідь: .

Приклад 2.7. Обчислити без таблиць .

Нехай . Подамо тотожність у вигляді . Звідси

.

Оскільки , то

.

Знаходимо додатний корінь квадратного відносно рівняння: .

Відповідь: .

Приклад 2.8. Обчислити значення виразу .

Позначимо . Тоді . Враховуючи непарність арктангенса, обчислимо

. За формулою обчислюємо значення .

Відповідь: 0,98.

Приклад 2.9. Обчислити значення виразу .

Оскільки , то

.

Нехай , тоді .

Отже, .

За формулами подвійного та половинного кутів маємо

.

Звідси .

Отже, .

Відповідь: .

Приклад 2.10. Розвязати рівняння .

Маємо . Звідки . Останнє рівняння має розв’язки лише за умови , яка виконується лише при та . При цих значеннях n дістанемо рівняння які мають відповідно розвязки

.

Відповідь:

Приклад 2.11. Розв’язати рівняння .

Бачимо, що , отже, згрупуємо функції і застосуємо формулу різниці косинусів:

Розв’язок міститься у розв’язку (при ). Рівняння ж – не має цілих розв’язків.

Відповідь: . ▼

Приклад 2.12. Розв’язати рівняння .

;

Відповідь: ▼

Приклад 2.13. Розв’язати рівняння

Відповідь: ▼

Приклад 2.14. Розв’язати рівняння

Оскільки то

Отже, рівняння рівносильне системі

Система має розв’язки лише тоді, коли рівняння має розв’язки на множині цілих чисел. У цьому випадку маємо розв’язки тому

Відповідь: ▼

Приклад 2.15. Розв’язати рівняння (*)

Рівняння (*) рівносильне сукупності

або

Розв’яжемо першу систему рівнянь

Аналогічно знаходимо розв’язки другої системи

Відповідь: ▼

Приклад 2.16. Розв’язати рівняння

Рівняння рівносильне сукупності систем

Знаходимо розв’язки цих систем:

Відповідь: ▼

Приклад 2.17. Розв’язати рівняння .

∆ Оскільки то Отже, дане рівняння матиме вигляд

Проте , тому ця рівність виконуватиметься лише тоді, коли

Отже, можливі два випадки

звідки

Відповідь: ▼

Приклад 2.18. Розв’язати рівняння

∆

Відповідь: ▼

Приклад 2.19. Розв’язати рівняння

∆ ОДЗ:

Виразимо арккосинус через арксинус:

Дістанемо рівняння , звідки і .

Відповідь: {2}. ▼

Приклад 2.20. Розв’язати рівняння .

∆ОДЗ:

Нехай тоді причому

Із рівняння маємо Обчислимо косинус від обох частин рівняння:

Підставимо значення дістанемо тотожність

Відповідь: ▼

Приклад 2.21. Розв’язати систему рівнянь

∆Система рівносильна сукупності двох систем

або

Перша система роз’язків не має.

Розв’язуємо другу систему рівнянь:

Відповідь: ▼

Приклад 2.22. Для кожного значення параметра розв’язати рівняння

.

.

Тому , звідки .

Це рівняння має розв’язки якщо , тобто .

При інших значеннях параметра розв’язків немає.

Відповідь: якщо , то розв’язків немає, якщо , то . ▼

Приклад 2.23. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Заміною , зведемо дане рівняння до квадратного:

Тригонометричне рівняння має розв’язки при тих значеннях параметра , при яких квадратне рівняння має принаймні один розв’язок на проміжку . Дискримінант квадратного тричлена , його корені при

.

Розглянемо такі випадки.

1. Обидва корені квадратного тричлена належать проміжку , якщо:

Маємо , тому визначаємо з системи:

Для цих значень дістанемо розв’язки тригонометричного рівняння:

2. Один із коренів квадратного тричлена належить проміжку

а) , а , якщо

У цьому випадку рівняння має розв’язки

б) , а , якщо

У цьому випадку рівняння має розв’язки

Для решти значень параметра рівняння не має розв’язків.

Відповідь: якщо , то

якщо , то

якщо , то . ▼

Приклад 2.24. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Права частина рівняння невід’ємна, причому . Тому ліва частина також невід’ємна, тобто . Зауважимо, що в цьому випадку

.

Рівність обох частин рівняння можлива лише у випадку, коли

Для решти значень параметра рівняння не має розв’язків.

Відповідь: при

Приклад 2.25. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Рівняння зводиться до однорідного:

.

Переконуємося, що , поділимо на , дістанемо рівняння

.

Заміною рівняння зводиться до квадратного

Це рівняння має розв’язки, якщо , тобто

Отже, якщо , то

якщо , то

якщо , то

якщо то розв’ків не має.

Відповідь: якщо , то

якщо , то

якщо , то

якщо то розв’ків не має.

Приклад 2.26. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

ОДЗ: . Запроваджуємо допоміжний кут:

Із множини розв’язків першого рівняння лише значення належить проміжку . Друге рівняння має розв’язки за умови . Зауважимо, що функція має період , тому на проміжку довжини періоду друге рівняння може мати: один розв’язок, якщо , тобто

, або (у цьому випадку розв’язки обох рівнянь збігаються); два розв’язки, якщо і ; три розв’язки, якщо .

Отже, рівняння матиме рівно чотири різних розв’язки на проміжку , якщо .

Відповідь: . ▼

Приклад 2.29. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має єдиний розв’язок? Знайти цей розв’язок.

Функція при всіх значеннях параметра є парною щодо .

Якщо число є розв’язком даного рівняння, то також буде розв’язком. Отже, єдиним може бути лише розв’язком . Знайдемо значення параметра , при яких рівняння не має інших розв’язків, крім .

Підставимо значення у рівняння, дістанемо квадратне рівняння

, яке має корені і .

Якщо , то дане рівняння матиме вигляд

.

Це рівняння інших коренів, крім , не має, оскільки , а

при .

Якщо , то дане рівняння має вигляд

.

і може мати корені, крім , наприклад, .

Тому значення не справджує умову задачі.

Відповідь: , . ▼

Приклад 2.30. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких система рівнянь

має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Якщо , то перше рівняння системи не має розв’язків, оскільки

, а . Знайдемо розв’язки системи, якщо

Рівняння має розв’язки .

Рівняння має розв’язки .

Розв’язки обох систем збігаються.

Відповідь: . ▼

Приклад 2.31. Розв’язати нерівність .

Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей

Перша – несумісна. Знаходимо розв’язки другої

Перша нерівність має розв’язки а друга:

Знаходимо перетин цих множин.

Відповідь: . ▼

Приклад 2.32. Розв’язати нерівність .

Нерівність рівносильна сукупності:

Відповідь: . ▼

Приклад 2.33. Розв’язати нерівність .

Знаходимо розв’язок тригонометричної нерівності:

.

звідки

.

Проте , тому при значеннях та розв’язуємо нерівності та . Для цього беремо косинус від усіх частин нерівностей. Враховуючи, що на інтервалі косинус спадає, дістаємо та .

Відповідь: . ▼

Приклад 2.34. Розв’язати нерівність .

Зробимо заміну , тоді

Отже, маємо сукупність нерівностей

Знаходимо її розв’язок:

Відповідь: . ▼

Приклад 2.35. Розв’язати нерівність .

Зведемо її до однорідної:

Якщо , то нерівність завжди виконується. Якщо , то поділимо нерівність на , дістанемо

.

Алгебраїчна відносно нерівність має розв’язки

а тому:

Доповнимо ці інтервали розв’язками рівняння , тобто множиною

У відповіді записуємо об’єднання цих множин розв’язків.

Відповідь: ▼

Приклад 2.36. Розв’язати нерівність .

Нерівність визначена при . Оскільки

то маємо , звідки .

За означенням маємо рівносильну нерівність .

Беремо синус від усіх частин нерівності (на інтервалі синус зростає), .

Відповідь: . ▼

Приклад 2.37. Для всіх значень параметра розв’язати нерівність

.

Розв’яжемо першу систему нерівностей:

Отже, якщо , то ; якщо :

Знайдемо розв’язок другої системи нерівностей:

Отже, ця система нерівностей має такі розв’язки:

якщо якщо

Відповідь:

якщо , то ;

і ;

якщо , то

якщо , то . ▼

Приклад 2.38. Знайти всі значення параметра a, при кожному з яких нерівність справджується при всіх дійсних значеннях x.

Нехай після введення зміни дістанемо рівносильну систему

Функція набуває додатних значень на у таких випадках:

Відповідь:

Поиск по сайту: