АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Розділ 4. Похідна та її застосування. Інтеграл

Читайте также:
  1. I розділ
  2. Актуальність розділу.
  3. Бальнеологія як розділ курортології. Головні бальнеологічні групи мінеральних вод.
  4. В – Індивідуальні розділи курсу
  5. Вимоги до написання підрозділу
  6. Вимоги до написання підрозділу
  7. Вимоги до написання підрозділу
  8. Висновки до розділу
  9. Висновки до розділу
  10. Висновки до розділу
  11. ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 1
  12. Висновки до розділу 2

Приклад 4.1. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку з координатами дотикається графіка функції і перетинає у двох різних точках графік функції

Позначимо через х=х0,у=у0 координати точки, в якій пряма дотикається графіка функції .

Оскільки то її рівняння можна записати у вигляді:

За умовою, точка належить цій прямій, а точка (х0;у0) – графіку функції . Звідси:

Отже, дотичні до графіка функції в точках

Мають рівняння

Залишилося розв’язати дві системи:

Відповідь: .

Приклад 4.2. Довести, що для функції виконується нерівність

 

Приклад 4.3. знайти найменшу відстань від точки М(0;-2) до кривої

Нехай точка N(х;у) належить графіку функції

Знайдемо найменше значення функції на множині

Оскільки то найменше значення функції на множині дорівнює .

Відповідь:

Приклад 4.4. Точки М і N лежать на параболах у=х2, у=-(х-6)2 відповідно. Знайти найменше значення М N.

Оскільки параболи симетричні відносно точки С(3;0), то і найближчі точки цих парабол М і N відповідно теж симетричні відносно точки С.

Тоді М N=МС+С N=2МС

Відповідь:

Приклад 4.5. Знайти сторону рівностороннього трикутника найбільшої площі, дві вершини якого лежать на прямій а третя вершина належить фігурі, обмеженій лініями у=х2-2х, у=2х-1.

Використовуючи геометричні образи заданих рівнянь, покажіть, що в силу опуклості тієї частини границі заданої фігури, яка співпадає з частиною параболи у=х2-2х, найвіддаленішою від прямої точкою заданої фігури є точка А(х0;у0), у якій дотична до параболи у=х2-2х паралельна прямій . Відстань d між цією дотичною і прямою у=2х-1 і є висотою трикутника максимальної площі.

Відповідь: .

Приклад 4.6. Знайти всі точки прямої, сума відстаней від кожної з яких до точок A(0), B(5), C(7), D(10) буде найменшою.

Нехай М(х) – шукана точка. Необхідно знайти всі значення хєR при яких функція

досягає мінімуму.

Відповідь: хє[5;7].

Приклад 4.7. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких функція

має додатну точку максимуму.

Показати, що задача зводиться до того, щоб знайти всі а, при кожному з яких менший корінь, а отже, і обидва корені рівняння додатні. За теоремою Вієта:

Відповідь:

Приклад 4.8. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких функція

зростає і не має критичних точок для хєR.

Якщо для всіх хєR виконується нерівність у’(х)>0, то функція у(х) не має критичних точок і зростає.

При х=0 маємо

Якщо і для всіх хєR маємо:

Відповідь: ає(6;+

Приклад 4.9. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких функція

Зростає для всіх значень хєR і при цьому не має критичних точок.

Задачу можна перефразувати так: знайти всі значення параметра а, при кожному з яких для довільного хєR виконується нерівність

або найменше значення функції на відрізку [-1;1] додатне:

Найменше значення m функції g(t) на відрізку [-1;1] дорівнює:

Відповідь:

Приклад 4.10. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких функція

Має на відрізку не менше двох критичних точок.

Задача зводиться (в силу періодичності y=sinx) до знаходження всіх значень a, при кожному з яких рівняння має розв’язки на відрізку

На цьому відрізку sinx<0, причому .

З системи

Відповідь:

Приклад 4.11. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких хорда параболи дотикається до кривої у точці з абсцисою х=2 і ділиться цією точкою навпіл.

Отже у=х-3 – рівняння дотичної, проведеної до графіка функції з абсцисою у точці х=2. Нехай х1 і х2 – абсциси кінців хорди (розв’язки рівняння ). Якщо корені існують, то їх сума дорівнює .

Отже, задача звелася до розв’язання змішаної системи:

Відповідь: а=1.

Приклад 4.12. Знайти значення параметрів p і m, при яких мінімум функції

не менше 1 і досягається при х=1.

+ .

Для того, щоб х=1 була точкою мінімуму, необхідно виконання умови

Оскільки (2)

Якщо х=1 точка мінімуму, то при наприклад:

Із (1)-(3) випливає, що .

Функція

Має точку мінімуму х=1 і цей мінімум не менше 1, якщо:

Відповідь:

Приклад 4.13. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких площа фігури яка належить півплощині х≥0, і обмежена прямими у=1, у=2 і кривими буде найбільшою. Знайти цю площу.

Розв’язуючи відповідні системи рівнянь, знаходимо абсциси координат точок A, B, C, D:

Тоді площа криволінійної трапеції

Функція в області vмонотонно спадає.

Отже,

Відповідь:

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)