Розділ 1. Алгебра

Відповідь:

Приклад 1.9. Розв`язати рівняння

Оскільки

то

Відповідь:

Приклад 1.10. Розв`язати рівняння:

Після заміни одержимо

Відповідь:

Приклад 1.11. Розв`язати рівняння

Відповідь:

Приклад 1.12. Для всіх значень параметра розв`язати рівняння:

Розглянути окремо випадки та

Відповідь: якщо то

якщо то

якщо , то розв`язків немає.

Приклад 1.13. Знайти всі значення параметра при кожному з яких корені рівняння належать інтервалу

Нехай

Якщо то

Якщо то задача рівносильна виконанню умов:

Відповідь:

Приклад 1.14. При яких значеннях параметра корені рівняння

розташовані в інтервалі

Задача зводиться до розв`язання системи нерівностей:

Відповідь:

Приклад 1.15. Розв`язати систему рівнянь (*)

Система (*) є симетричною.

(*)

Заміна

Відповідь:

Приклад 1.16. Розв`язати систему рівнянь (*)

Система (*) є однорідною. Оскільки то

(*)

Відповідь:

Приклад 1.17. Розв`язати систему рівнянь (*)

(*)

Приклад 1.18. Розв`язати систему рівнянь

Бачимо, що Помноживши рівняння (*) на , а рівняння (**) на і віднявши від першого рівняння друге, одержимо:

Розділивши рівняння (*) на , а рівняння (**) на і додавши, одержимо:

Приклад 1.19. Розв`язати систему рівнянь (*)

Скориставшись формулою

маємо:

або

Відповідь:

Приклад 1.20. Розв`язати систему рівнянь (*)

Оскільки то

(*) або

Відповідь:

Приклад 1.21. Розв`язати систему рівнянь (*)

(*)

Відповідь:

Приклад 1.22. Розв`язати нерівність

(*)

ОДЗ:

Оскільки число нерівність (*) не задовольняє і обидві частини нерівності (*) невід`ємні, то після піднесення (двічі) до квадрату і спрощення маємо:

(*)

Відповідь:

Приклад 1.23. Розв`язати нерівність

(*)

Відповідь:

Приклад 1.24. Розв`язати нерівність

Методом інтервалів знаходимо інтервали знакосталості виразів

Отже:

Відповідь:

Приклад 1.25. Розв`язати нерівність

На проміжках нерівність

еквівалентна сукупності системи

Розглянути чотири випадки: неважко переконатись, що при та розв`язками системи (**) будуть множини [1;2) та (0;1) відповідно, а при та система (**) розв`язків не має.

Відповідь: (0;2).

Приклад 1.26. Розв`язати нерівність

Відповідь:

Приклад 1.27. Знайти дійсні значення параметра , при яких нерівність

справдується для всіх

При отримаємо нерівність

яка не справджується для всіх

Тому не буде розв`язком задачі.

Нехай

Тоді

Якщо то шукане значення параметра знаходимо із сукупності систем:

Відповідь:

Приклад 1.28. Для кожного значення параметра розв`язати нерівність

Із (*) випливає, що Для таких ОДЗ змінної є множина Після заміни нерівність (*) набуде вигляду:

Нехай

Тоді

Якщо

Випадок, коли корені квадратного тричлена належать множині рівносильний виконанню умов:

Відповідь: якщо

якщо то

при інших значеннях розв`язків немає.

Приклад 1.29. Для кожного значення параметра розв`язати систему нерівностей

I спосіб. Розгляньте взаємне розміщення коренів рівняння та коренів рівняння

2 спосіб. Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють системі нерівностей

Дослідіть перетин цієї множини сім`єю прямих

Відповідь: якщо

якщо то розв`язків немає.

Приклад 1.30. Скільки спільних точок мають графіки функцій

та залежно від параметра ?

Приклад 1.31. Скільки спільних точок мають графіки функцій та

залежно від параметра

Приклад 1.32. Скільки спільних точок мають графіки функцій та

залежно від параметра

Приклад 1.33. Скільки спільних точок мають множини:

залежно від параметра

фіксована множина (коло радіуса з центром в точці

- коло з фіксованим центром та радіусом (залежним від параметра Змінюючи а отже і одержуємо основні можливі випадки взаємного розміщення заданих множин.

Приклад 1.34. Скільки спільних точок мають множини:

залежно від параметра

- фіксована множина; - коло з фіксованим центром і радіусом (залежним від параметра ).

Змінюючи радіус , маємо основні випадки взаємного розміщення обох множин:

Приклад 1.35. Для кожного дійсного значення параметра розв`язати рівняння

Можна скористатись графіками залежностей

Потрібно розглянути всі варіанти перетину зображеної множини сім`єю прямих

Відповідь: при

при

при

при

Приклад 1.36. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рівно два розв’язки?

Потрібно скористатись геометричною інтерпретацією: розглянути взаємне розташування графіка функції та кола .

Відповідь: a .

Приклад 1.37. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рівно єдиний розв’язок.

Рівняння системи є рівняннями кіл: перше коло радіуса з центром у точці C₁(0;-4), друге – коло радіуса з центром у точці C₂(3;0).

Система матиме єдиний розв’язок тільки за умови дотику цих кіл. Оскільки кола можуть дотикатися зовнішньо або внутрішньо, то потрібно розглянути відповідно два випадки.

Відповідь:{-8;-6;2;4}.

Приклад 1.38. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рівно два розв’язки.

Нехай а – шукане значення параметра і (x ₀; y ₀) – розв’язок системи. Можна показати, що пари чисел (-x ₀; -y ₀),(y ₀; x ₀),(-y ₀; -x ₀) також будуть розв’язками системи. Розв’язки (x ₀; y ₀) і (-x ₀; -y ₀) різні, оскільки тоді x ₀=0 і y ₀=0 та не задовольняється друге рівняння системи. Розв’язки (x₀;y₀) i (-y ₀; -x ₀) також різні, бо інакше і знову не задовольняється друге рівняння системи. За умовою система має рівно два розв’язки, отже, розв’язки (-x ₀; -y ₀) і (-y ₀; -x ₀) збігаються, тобто x ₀= y ₀.

Примітка. Можна скористатись геометричною інтерпретацією: взаємним розміщенням кола і прямих .

Відповідь: .

Приклад 1.39. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рівно чотири розв’язки.

Потрібно скористатись геометричною інтерпретацією: розглянути взаємне розміщення фіксованої множини та параметричної сім’ї кіл .

Відповідь: .

Приклад 1.40. При яких значеннях параметра а розв’язки нерівності

утворюють проміжок довжини ? Знайти цей проміжок.

Скористатись геометричною інтерпретацією: розглянути графіки функцій (півколо) і .

Відповідь: .

Приклад 1.41. Знайти чотири числа, з яких перші три утворюють геометричну прогресію, а останні три – арифметичну, причому сума крайніх чисел дорівнює 32, а середніх чисел – дорівнює 24.

Перші три числа складають геометричну прогресію, позначимо їх:

,

а останні три – арифметичну.

Якщо четверте число позначити через t, то числа – будуть послідовними членами арифметичної прогресії, тоді , звідки .

Отже, шукані числа можна записати у вигляді:

.

За умовами задачі:

.

Відповідь: 32; 16; 8; 0 та 2; 6; 18; 30.

Приклад 1.42. Якщо від чотирьох чисел, які утворюють арифметичну прогресію, відняти відповідно 1,5,8 і 9, то дістнемо чотири числа, які в тому ж порядку утворюють геометричну прогресію. Знайти ці числа.

Позначимо шукані числа через a₁,a₂,a₃ і a₄. Тоді числа a₁ – 1, a₂ – 5, a₃ – 8 I a4 – 9 повинні складати геометричну прогресію, тому:

Відповідь: 2;7;12;17.

Приклад 1.43. Сума трьох чисел, які утворюють геометричну прогресію, дорівнє 65. Якщо ці числа зменшити відповідно на 1,8 і 35, то одержимо числа, які утворюють арифметичну прогресію. Знайти ці числа.

Позначимо шукані числа через . Тоді . За умовою задачі числа утворюють арифметичну прогресію, тому:

Отже, задача звожиться до розв’язування системи:

Відповідь: 5;15;45 або 45;15;5.

Приклад 1.44. Три числа, сума яких дорівнює 21, утворюють арифметичну прогресію. Якщо від другого числа відняти 1, а до третього додати 1, то одержимо числа, які утворюють геометричну прогресію. Знайти ці числа.

Позначимо шукані числа . За умовою задачі числа утворюють геометричну прогресію, тобто для них виконується рівність .

Отже, задача зводиться до розв’язання системи:

Відповідь: 12;7;2 або 3;7;11.

Приклад 1.45. Два вантажних автомобілі мають перевезти деякий вантаж за 6 год. Другий автомобіль затримався в гаражі, і коли він прибув на місце завантаження, то перший автомобіль перевіз вже всього вантажу. Частину вантажу, що залишилось, перевіз другий автомобіль, і весь вантаж був перевезений таким чином за 12 год. За який час перевезе весь вантаж кожен автомобіль окремо?

Нехай першому автомобілю для виконання всієї роботи (перевезення всього вантажу) потрібно год, а другому год. Узявши обсяг всієї роботи за одиницю, згідно умови задачі, маємо систему рівнянь:

Відповідь: 10 год, 15 год або 12 год, 12 год.

Приклад 1.46. З посудини, яка містить 54 л чистої кислоти, відлили декілька літрів і після ього долили посудину водою до попереднього обєму. Потім з посудини відлили суміші стільки ж літрів, як за першим разом. В результаті в суміші, що містяться у посудині, залишилось 24 л чистої кислоти. Скіьки літрів кислоти вилили за першим разом?

Нехай за першим разом було відлито л кислоти. Тоді в посудині залишилось л кислоти. Доливши посудину водою, одержимо 54 л суміші, яка містить л кислоти. Отже, в одному літрі суміші міститься л кислоти. За другим разом з посудини відлили л суміші, тобто кислоти відлили л. Отже, за першим разом було відлито л кислоти, за другим разом л кислоти, а всього за два рази відлили л кислоти.

Отже, одержуємо наступне рівняння:

За умовою задачі . Отже .

Відповідь: 18л.

Приклад 1.47. З міста А до міста В виїхав вантажний автомобіль, а за годину з А то В виїхав легковий автомобіль. До міста В автомобілі приїхали одночасно. Якщо б з міст А і В автомобілі виїхали одночасно назустріч один одному, то зустріч відбулася б за 1 год 12 хв після їх виїзду. Знайти час, за який проїде шлях від А до В вантажний автомобіль.

Нехай вантажний автомобіль проїжджає відстань від А до В за год. Тоді легковий автомобіль проїде цю відстань за год. Позначимо відстань між містами через км. Тоді, згідно з умовами задачі, одержимо наступне рівняння:

Оскільки , то

За змістом задачі . Отже .

Відповідь: 3 год.

Приклад 1.48. Обчислити

1.

2.

3.

Відповідь: 1.

Приклад 1.49. Обчислити , якщо .

Відповідь: .

Приклад 1.50. Обчислити , якщо .

, звідки

Тоді .

Відповідь: .

Приклад 1.51. Виразити через a і b , якщо .

Відповідь: .

Приклад 1.52. Обчислити , якщо .

Логарифми визначені, якщо . При цих обмеженнях маємо:

.

Відповідь: .

Приклад 1.53. Обчислити , якщо .

маємо: , звідки Тому

Відповідь: .

Приклад 1.54. Довести, що , якщо .

За умовою

.

Звідки .

Приклад 1.55. Порівняти числа:

1)

2)

3)

4)

5) .

2)

Отже,

3) для значення виконується нерівність , тому

Отже,

4) числа a і b задовольняють нерівності

а числа та задовольняють нерівності

Отже, , тому

5) знайдемо різницю даних чисел:

Число с є значенням квадратного тричлена при

Визначимо знак: отже, при і при

Для числа значення отже,

Приклад 1.56. Розв’язати рівняння .

Відповідь: 7.

Приклад 1.57. Розв’язати рівняння .

Відповідь: {2;3}.

Приклад 1.58. Розв’язати рівняння .

Відповідь: 3.

Приклад 1.59. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: {-1;1}.

Приклад 1.60. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: {2, }.

Приклад 1.61. Розв’язати рівняння: .

Рівняння однорідне, оскільки основи показникових функцій 4, 14 і 49 є послідовними членами геометричної прогресії:

Відповідь: {-1,0,1}.

Приклад 1.62. Розв’язати рівняння: .

Оскільки

то після зміни рівняння зводиться до квадратного:

Відповідь:{-4;4}.

Приклад 1.63. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: .

Приклад 1.64. Розв’язати рівняння: .

Відповідь: 3.

Приклад 1.65. Розв’язати нерівність: .

Відповідь: .

Приклад 1.66. Розв’язати нерівність: .

(Oскільки

Тому дана нерівність рівносильна нерівності

Відповідь: .

Приклад 1.67. Розв’язати нерівність: .(*)

Відповідь: .

Приклад 1.68. Розв’язати нерівність: .

Оскільки

a при всіх x, то

Із цього інтервалу вилучаємо точки, в яких або , тобто та

Відповідь: .

Приклад 1.69. Для всіх значень параметра а розв’язати нерівність:

.

Порівняємо числа

якщо то якщо то

Отже, при система нерівностей має розвязки

при .

Відповідь: .

Поиск по сайту: