Примеры расчета передаточных функций некоторых пассивных линейных схем

Для характеризации линейных схем используется передаточная функция, которая представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом системы. Зная входной сигнал и передаточную функцию системы можно восстановить выходной сигнал. Почему передаточная функция является атрибутом только линейных схем? Ответ заключается в следующем: линейная функция по определению является линейной для любой величины входного сигнала , поэтому, рассчитывая или измеряя передаточную функцию линейной или «почти» линейной (линейной с приемлемо малой погрешностью) системы для некоторого диапазона уровней входного сигнала, мы должны быть уверенными в её линейности и для расширенного диапазона уровней входного сигнала.

Пусть x(t) – входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t) – её выходной сигнал. Тогда передаточная функция H(s) такой системы будет описываться выражением , где Y(s) и X(s) соответственно преобразования Лапласа для сигналов y(t) на выходе и x(t) на входе линейной системы. Преобразование Лапласа имеет вид: и .

Оригиналом передаточной функции H(s) является импульсная переходная функция или импульсная характеристика системы h(t). h(t) – выходной сигнал линейной системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции (в цифровых системах входной сигнал для определения импульсной характеристики представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду квантования для дискретных систем) и максимальной амплитуды).

При подаче сигнала на вход системы вначале возникает нестационарный процесс установления нового состояния (переходной процесс), и действительная часть комплексной переменной входит в показатели экспонент, определяющих затухающий (при ) или возрастающий (при ) характер переходного процесса. При этом выражения с множителем, содержащим экспоненту с , уменьшаются до нуля, следы нестационарности процесса исчезают, и можно считать, что во все последующее время , и . По этой причине амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики (АФЧХ) для линейной стационарной ( = 0) системы можно получить из передаточной функции путем формальной замены комплексной переменной s = на . Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) является зависимостью коэффициента передачи линейной системы от частоты; причём АЧХ является модулем комплексной АФЧХ. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) является зависимостью сдвига фазы между входным и выходным сигналами от частоты, и её можно получить как аргумент комплексной АФЧХ. Для удобства представления АЧХ и ФЧХ изображают как правило в логарифмических координатах (АЧХ – зависимость от , где - действительный коэффициент передачи сигнала, а ФЧХ – зависимость от ).

Пассивный RC фильтр низких частот первого порядка

В качестве примера расчёта АЧХ и ФЧХ проведем анализ простейшей частотозависимой пассивной линейной схемы (т.е. пассивного фильтра), представленной на рис. 2 а. Эту схему называют интегрирующей RC цепочкой, что следует из решения уравнения Кирхгофа для оригинала схемы (во временнòй области):

, (1.1)

откуда после интегрирования

(1.2)

Определим характеристики схемы в частотной области, пользуясь методом преобразования Лапласа.

Напомним известную из курса теоретической электротехники передаточную функцию пассивного RC фильтра в стационарном состоянии. Для ее получения используем законы Кирхгофа, справедливые как для оригиналов, так и для изображений напряжений и токов.

Очевидно, что , т.е.

(1.3)

Передаточная функция схемы равна

. (1.4)

Здесь – действительный полюс передаточной функции; – частота действительного полюса.

Для стационарного состояния , поэтому

. (1.5)

Модуль выражения (1.5) определяет зависимость от частоты модуля передаточной функции (1.5) напряжения рассматриваемого фильтра с входа in на выход out:

. (1.6)

Рис. 2 – Пассивный RC фильтр низких частот первого порядка: a – электрическая схема; b – зависимость коэффициента передачи от частоты (амплитудно-частотная характеристика – АЧХ); с – зависимость сдвига фазы между входным и выходным сигналами от частоты (фазо-частотная характеристика – ФЧХ)

Сдвиг фазы между напряжениями и определяется выражением:

(1.7)

На малых частотах, при которых круговая частота сигнала много меньше собственной круговой частоты полюса передаточной функции, т.е. , при этом выражение для значительно упрощается и аппроксимируется выражением:

(1.8)

На высоких частотах, при которых круговая частота сигнала много больше собственной круговой частоты полюса передаточной функции, т.е. , выражение для также упрощается, и соответствующая аппроксимация имеет вид:

(1.9а)

Иллюстрации точных и аппроксимированных зависимостей от частоты коэффициента передачи и разности фаз между входным и выходным сигналами представлены на рис. 1(b) и 1(с) соответственно. На рисунке кроме точной АЧХ («жирная» линия) приведен общепринятый вид упрощённой АЧХ (тонкая линия), аппроксимирующая точную АЧХ не только при и , но и просто при и . Упрощённый вид АЧХ удобен потому, что её излом приходится на круговую частоту полюса, являющуюся главной характеристикой любого фильтра, в том числе и рассматриваемого простейшего.

Выше эффект уменьшения модуля коэффициента передачи сигнала от входа к выходу формально обосновывается выражением (1.6), однако это необходимо уметь объяснить также с помощью полукачественных рассуждений, выказывая понимание физической сути проблемы. Приведём вариант рассуждений.

Перезарядка входным сигналом конденсатора С производится через резистор с постоянной времени током величины . Выходное напряжение равно разности входного напряжения и напряжения на резисторе : . Поскольку ток в резисторе является током , заряжающим только конденсатор , то , и .

Пусть (здесь - частота выходного сигнала, равная частоте входного сигнала, а - амплитуда выходного сигнала). В этом случае , и

Если величина постоянна, то при увеличении частоты входного сигнала выходной сигнал монотонно уменьшается.

Обобщая полученный результат отметим, что если ток перезарядки емкости как внутри функционального элемента, так и на его выходе, ограничена каким-либо компонентом (резистором, транзистором, индуктивностью), то при увеличении частоты входного сигнала коэффициент передачи элемента на выход уменьшается!

Поиск по сайту: