Док-во

Запишем правило дифференцирования произведения:

Отсюда

Пример:

Рассмотрим метод Лагранжа вариации постоянных. Пусть

- фундаментальная система решений однородного уравнения . Тогда частное

Решение неоднородного уравнения можно искать в виде

(6)

где функции определяются из системы

Т.к. определитель

то из этой системы определяются однозначно, а сами функции

- с точностью до произвольных постоянных. Если в (6) подставить именно эти функции

, то получим частное решение уравнения (4).

Докажем последнее утверждение для n = 2. Уравнение в этом случае имеет вид

где - непрерывные на некотором промежутке функции. Частное

решение данного уравнения ищем в виде

Где , - фундаментальная система решений однородного уравнения

a и – подлежащие определению функции. Предположим,

что они удовлетворяют системе:

Тогда

Отсюда

т.е. , и наше утверждение доказано.

Поиск по сайту: