 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Билет 5. К простейшим рациональным дробям относятся дроби следующего
|
Читайте также: |
К простейшим рациональным дробям относятся дроби следующего
вида:
; 
; 
; 
Предполагается, что в знаменателе дробей вида 3) и 4) нет
действительных корней.
Интегралы от первых трех видов нам известны:
Где 
– табличный интеграл, значение которого зависит от
коэффициентов a, b, c.
Интеграл от дроби вида 4) после выделения полного квадрата в
знаменателе и соответствующей подстановки можно представить
суммой интегралов:
(6.1)
Для вычисления второго интеграла в (6.1) применяют рекуррентные
формулы, позволяющие вычислить любой k – й интеграл по известному
(k – 1) –му интегралу. Такая формула получается интегрированием по частям
следующим образом:
При k = 1
Пример
где 
Для системы функций
заданных на промежутке I, обычным образом вводится понятие линейной
зависимости; такая система называется линейно зависимой, если существует
нетривиальная равная нулю линейная комбинация этих функций:
В противном случае (т.е. когда тождественному нулю может равняться лишь
тривиальная линейная комбинация этих функций) система функций называется
линейно независимой.
Если система функций 
заданных на промежутке I, состоит из n – 1 раз
дифференцируемых функций, то Вронскианом этой системы функций называют определи-
тель
Теорема (об определителе Вронского линейно независимой системы решений линейного
однородного уравнения n-го порядка ). Пусть 
– линейно независимая система
решений уравнения
где 
– функции, непрерывные на промежутке I. Тогда
Вронскиан этой системы решений не равен нулю ни в одной точке промежутка I.
Док-во: Пусть вопреки утверждению теоремы в некоторой точке 
:
Из этого равенства следует, что столбцы определителя 
линейно зависимы, т.е.
существует нетривиальный набор чисел 
такой, что
Рассмотрим функцию 
; по теореме о пространстве реше-
ний линейного однородного уравнения эта функция есть решение уравнения (3). Функция,
тождественно равная нулю на промежутке I, также удовлетворяет этому уравнению и
начальным условиям (4). По теореме существования и единственности получаем отсюда,
что 
, т.е. существует нетривиальная равная нулю линейная комбинация функций
, что противоречит линейной независимости этих функций. Полученное
противоречие доказывает теорему.
Поиск по сайту: