АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Билет 5. К простейшим рациональным дробям относятся дроби следующего

Читайте также:
  1. Абдель дал мне знак поторопиться — казалось, ему хочется быстрее покинуть это место. Самия Шарифф Мой отец заплатил за билеты первого класса.
  2. Билет (a)
  3. Билет (б)
  4. Билет 1
  5. Билет 1.
  6. Билет 10
  7. Билет 11
  8. Билет 12
  9. Билет 12
  10. Билет 12
  11. Билет 12
  12. Билет 13

К простейшим рациональным дробям относятся дроби следующего

вида:

; ; ;

Предполагается, что в знаменателе дробей вида 3) и 4) нет

действительных корней.

 

Интегралы от первых трех видов нам известны:

Где табличный интеграл, значение которого зависит от

коэффициентов a, b, c.

Интеграл от дроби вида 4) после выделения полного квадрата в

знаменателе и соответствующей подстановки можно представить

суммой интегралов:

(6.1)

Для вычисления второго интеграла в (6.1) применяют рекуррентные

формулы, позволяющие вычислить любой k – й интеграл по известному

(k – 1) –му интегралу. Такая формула получается интегрированием по частям

следующим образом:

При k = 1

 

Пример

где

Для системы функций

заданных на промежутке I, обычным образом вводится понятие линейной

зависимости; такая система называется линейно зависимой, если существует

нетривиальная равная нулю линейная комбинация этих функций:

В противном случае (т.е. когда тождественному нулю может равняться лишь

тривиальная линейная комбинация этих функций) система функций называется

линейно независимой.

Если система функций заданных на промежутке I, состоит из n – 1 раз

дифференцируемых функций, то Вронскианом этой системы функций называют определи-

тель

Теорема (об определителе Вронского линейно независимой системы решений линейного

однородного уравнения n-го порядка ). Пусть – линейно независимая система

решений уравнения

где – функции, непрерывные на промежутке I. Тогда

Вронскиан этой системы решений не равен нулю ни в одной точке промежутка I.

Док-во: Пусть вопреки утверждению теоремы в некоторой точке :

Из этого равенства следует, что столбцы определителя линейно зависимы, т.е.

существует нетривиальный набор чисел такой, что

Рассмотрим функцию ; по теореме о пространстве реше-

ний линейного однородного уравнения эта функция есть решение уравнения (3). Функция,

тождественно равная нулю на промежутке I, также удовлетворяет этому уравнению и

начальным условиям (4). По теореме существования и единственности получаем отсюда,

что , т.е. существует нетривиальная равная нулю линейная комбинация функций

, что противоречит линейной независимости этих функций. Полученное

противоречие доказывает теорему.

 


 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)