 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Билет 8
|
Читайте также: |
Если функция интегрируема по Риману на отрезке, то она ограничена
на этом отрезке. Зам.: условие ограниченности является необходимым
условием интегрируемости функции по Риману на отрезке.
Док-во: Пусть функция f(x) интегрируема на
[a, b], тогда 
. По определению интеграла 
, то есть
для 
и любого набора точек 
выполняется:
, отсюда получаем: 
Допустим, что функция не ограничена на [a, b], то есть не ограничена
на некотором 
. Обозначим остальную, не относящуюся к
данному отрезку часть суммы за σ:
, 
В силу неограниченности всегда можно выбрать такое ξ*, что
. Получено противоречие,
следовательно интегрируемая функция должна быть ограниченной.
Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида
(1)
где функции a1(x),..., an(x), b(x) определены на некотором промежутке I числовой пря-
мой; мы будем считать, что все эти функции непрерывны на указанном промежутке. Если
b(x) ≡ 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае (т.е. если b(x) от-
лична от тождественного нуля) – неоднородным.
Теорема (о существовании и единственности решения линейного уравнения n-го по-
рядка). Для любой точки 
и для любых чисел 
существует решение 
уравнения (1), определенное на всем промежутке I и удовлетворяющее начальным
условиям
Любые два решения, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям, совпа-
дают во всех точках промежутка I.
Эту теорему принимаем без доказательства.
Билет 9
Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не
зависит от способа выбора точек 
способа разбиения отрезка, то этот
предел называется определенным интегралом от функции f (x) по отрезку
[ a, b ] и обозначается следующим образом:
5) Аддитивность определенного интеграла:
при любом расположении точек a, b, c.
6) Если a 
b, a f(x) 
0 при всех 
7) Если a b, a 
при всех 
, то 
8) Если 
Линейность. Пусть функции 
и 
интегрируемы на отрезке 
, и пусть
и 
- произвольные вещественные числа. Тогда функция 
также интегрируема на , и
Для доказательства запишем очевидное равенство для интегральных сумм:
Переходя здесь к пределу при 
, получаем требуемое.
Аддитивность. Пусть функция 
интегрируема на отрезках 
и 
.
Тогда она интегрируема и на отрезке , причем
Доказательство. Интегрируемость функции на отрезке очевидна в случае
кусочно-непрерывной функции; в общем случае оставляем этот факт без доказательства.
Поскольку интегрируема на 
, то при составлении интегральной суммы для
интеграла из левой части доказываемого равенства можно считать, что соответствующее
разбиение 
содержит точку 
. Тогда сумма
будет интегральной суммой для интеграла 
и одновременно суммой
интегральных сумм для интегралов 
.
После перехода к пределу при 
и 
получим требуемое.
Для системы функций
),
заданных на промежутке I, обычным образом вводится понятие линейной зависимости; та-
кая система называется линейно зависимой, если существует нетривиальная равная нулю
линейная комбинация этих функций:
В противном случае (т.е. когда тождественному нулю может равняться лишь тривиальная
линейная комбинация этих функций) система функций называется линейно независимой.
Если система функций 
, заданных на промежутке I, состоит из 
раз
дифференцируемых функций, то определителем Вронского (вронскианом) этой системы
функций называют определитель
Общее решение (8) на отрезке 
с непрерывными на этом отрезке коэффициентами
и правыми частями 
равно сумме общего решения соответствующей
однородной системы (9) и частного решения 
неоднородной системы (8).(
,
тогда (6) можно переписать в виде: 
,(8) если 
то 
(9))
Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
которая в векторной форме записывается в виде
Здесь
Матрица Φ, столбцами которой являются n-линейно независимых на [a, b]
решений Y 1(x), Y 2(x),..., Yn (x) однородной линейной системы Y' = A (x) Y называется
фундаментальной матрицей решений системы:
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A (x) Y
удовлетворяет матричному уравнению Φ' = A (x) Φ.
Здесь
--------------- Квадратная матрица Φ(t), столбцы которой образованы линейно
независимыми решениями x1(t), x2(t),..., xn(t), называется фундаментальной
матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид:
где xij (t) − координаты линейно независимых векторных решений x1(t), x2(t),..., xn(t).
Заметим, что фундаментальная матрица Φ(t) является невырожденной, т.е. для нее
всегда существует обратная матрица Φ −1(t). Поскольку фундаментальная матрица
содержит n линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную
систему уравнений получаем тождество
Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ −1(t):
Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений,
если задана фундаментальная матрица.
Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде
где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.
Билет 10
Теорема об оценке интеграла.
Если на отрезке [ a, b ] функция удовлетворяет неравенству 
,
то 
.
Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации
обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств):.
Поиск по сайту: