Билет 6

Дробно-рациональная функция называется правильной,

если степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени

многочлена в знаменателе, и неправильной в противном случае.

Алгоритм:

1.Если дробь неправильная — выделить целую часть. Получим

интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и

интеграл от правильной дроби;

2.Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или

отличается от него постоянным множителем), то использовать

замену переменной z = знаменатель;

3.Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или

отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен

степени того же многочлена, то использовать замену переменной

z = знаменатель;

4.В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших.

Пример

Общим решением дифференциального уравнения

F (x, y (x), y '(x), y ''(x), …, y ⁽ⁿ⁾(x)) = 0

называется функция

y = Ф(x, С₁, С₂, …, С _n),

содержащая некоторые постоянные (параметры) С₁, С₂, …, С _n, и обладающая

следующими свойствами:

Ф(x, С₁, С₂, …, С _n) является решением уравнения при любых допустимых значениях С₁, С₂, …, С _m;

для любых начальных данных y (x ₀) = y ₀, y '(x ₀) = y ₁, y ''(x ₀) = y ₂, …, y ^{(n − 1)}(x ₀) = y_{n − 1},

для которых задача Коши имеет единственное решение, существуют значения

постоянных С₁ = A ₁, С₂ = A ₂, …, С _n = A_n, такие что решение y = Ф(x, A₁, A₂, …, A _n)

удовлетворяет заданным начальным условиям.

теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального

уравнениния непрерывны на отрезке [ a; b ], а функции y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) образуют

фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение

уравнения имеет вид

y (x, C ₁,..., C_n) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) +... + C_ny_n (x),

где C ₁,..., C_n — произвольные постоянные.

Теорема. Если и – линейно независимые решения уравнения

, то их линейная комбинация ,

где и – произвольные постоянные, будет общим решением этого уравнения.

Поиск по сайту: