Сложные многогранники

Правильные многогранники или «тела Платона», называются выпуклыми объемами. Все грани их являются одинаковыми и правильными многоугольниками. Все углы при вершинах правильного многогранника равные. Количество плоских углов при вершине правильного многогранника не превышает пяти.

Еще в древности Евклид доказал существование пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.

Тетраэдр - правильная пирамида.

Куб и октаэдр получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и наоборот.

Додекаэдр - двенадцатигранник, выпуклый объем которого ограничен в пространстве двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками. В каждой вершине соединяются три пятиугольника (рис. 128, проекции додекаэдра).

Рис. 128

Икосаэдр-двадцатигранник, выпуклая поверхность которого, составлена двадцатью равносторонними и равными треугольниками. При вершинах соединяются по пять треугольников (рис.129, проекции икосаэдра).

Рис. 129

В начале XIX века французский математик Л. Пуансо, основываясь на приведенном выше определении правильного многогранника, впервые описал четыре правильных невыпуклых многогранника, впоследствии названных «телами Пуансо» (рис. 130). В таких «звездчатых» объемах либо грани пересекают друг друга, либо сами грани являются самопересекающимися многоугольниками. К примеру, форма правильного «звездчатого» додекаэдра образована совокупностью поверхностей двенадцати правильных пятигранных пирамид, совмещенных своими основаниями с гранями правильного выпуклого додекаэдра.

Рис. 130

На основе пяти перечисленных выше правильных многогранников существует большое количество полуправильных «кристаллографических» выпукло-вогнутых объемов.

В предыдущей главе настоящего пособия были приведены способы построения разверток куба и пирамиды. Макеты правильных выпуклых многогранников, таких как додекаэдр и икосаэдр, также можно выполнить в виде развертки на плоскости и собрать в объем.

Построение развертки правильного двенадцатигранника - додекаэдра.

Рис. 131

Макет додекаэдра может быть собран из двух одинаковых частей-половинок (рис. 131). В основании элемента-«половины» находится правильный пятиугольник, на каждой стороне которого выполняется построение конгруэнтного пятиугольника. Для этого сначала построим правильный пятиугольник. Схема деления окружности приведена на рис.132. Прямая, проходящая через вершину правильного пятиугольника и центр окружности вспомогательного построения является серединным перпендикуляром стороны пятиугольника, лежащей напротив этой вершины (рис. 133).

Рис. 132


Рис. 133

Соединив вершину А с центром окружности О, получим прямую, которая делит отрезок, ограниченный точками В и С, пополам в точке D. На продолжении прямой A-O-D отложим из точки D интервал, равный A-D, получим точку А1. Из каждой вершины пятиугольника повторим описанное построение, опустив серединный перпендикуляр к каждой стороне пятиугольника. Проведем из центра О окружность радиусом О-А1 и на пересечении этой окружности с построенными прямыми, проходящими через вершины пятиугольника и центр О, получим точки А2, A3, А4, А5.

Выберем циркульный радиус R, равный длине стороны построенного правильного пятиугольника. Проведем фрагменты циркульных дуг радиусом R, выбирая последовательно в качестве центров дуг точки А1, А2, A3, А4, А5, а также каждую из вершин равностороннего пятиугольника. На пересечении дуг получим точки, являющиеся вершинами конгруэнтных пятиугольников.

Вторично выполнив описанное построение, получим аналогичную вторую половину выкройки.

Из двух частей-разверток можно собрать макет сложного многогранника. Делая выкройку, учитывайте необходимые монтажные элементы - клапаны для склеивания. По линиям складок на выкройках макетным ножом выполняются надрезы на лицевой поверхности листа.

Построение развертки правильного двадцатигранника - икосаэдра.

Макет икосаэдра можно собрать по разверткам, вычерченным двумя способами (рис 134).

Рис. 134

В первом варианте развертка икосаэдра состоит из трех параллельных полос равносторонних треугольников: десять фигур в центральной полосе и по пять таких же геометрических фигур в крайних полосах. В центральной «цепочке» равносторонние треугольники имеют общие боковые стороны, исключение составляют первая и последняя фигуры этого ряда, сохраняющие по одной боковой стороне, не состыкованной с другими треугольными элементами. Каждый из десяти равносторонних треугольников, лежащих по обе стороны от центральной «цепочки», имеют по одной общей стороне с фигурами центрального ряда.

Во втором варианте в чертеже развертки икосаэдра дважды использована схема деления вспомогательной окружности на шесть равных частей. Вершины вписанных в окружности правильных шестиугольников соединены отрезками прямых с центрами своих окружностей, и по пять из каждых шести вершин последовательно соединяются между собой равными отрезками. Получаются развертки двух правильных пятигранных пирамид «основания» и «верхушки» икосаэдра.

Центральная часть развертки двадцатигранника - «лента», состоящая из десяти равносторонних треугольников, длина стороны каждого из которых равна длине стороны, вписанного во вспомогательную окружность шестигранника.

Развертки пирамид «верхушки» и «основания» двадцатигранника имеют по одному общему отрезку с равносторонними треугольными элементами центрального ряда.

Развертки сложных многогранных объемов должны быть выполнены максимально качественно. Равные отрезки сторон треугольников точнее откладывать не по линейке, а при помощи циркуля: раствор циркуля должен соответствовать длине стороны равностороннего треугольника.

Развертки икосаэдров дополнены клапанами для склеивания частей. Стороны смежных между собой фигур и отрезков, граничащих с полосками-клапанами, надрезают макетным ножом. Выкройки вырезают по контуру. Макет икосаэдра собирают, последовательно подклеивая при помощи клея ПВА клапаны к изнаночной стороне многогранного объема.

Самостоятельная работа

Упражнение 1. Изготовление макетов сложных правильных многогранников.

а) Макет додекаэдра.

б) Макет икосаэдра.

в) Макет невыпуклого «звездчатого» объема на базе сложного правильного многогранника.

Цель задания. Научиться выполнять макеты сложных правильных многогранников.

Методические указания. Длина сторон многогранников выбирается произвольно, но не менее 30 мм, учитывая то обстоятельство, что чем мельче детали модели, тем сложнее выполнить макет качественно. Способы изготовления разверток были описаны выше.

При изготовлении макета «звездчатого» выпукло-вогнутого многогранника, вначале собирается по выкройке однотонный правильный многогранник, а затем выполняется набор одинаковых пирамид, плоскость основания которых должна соответствовать грани центрального многогранного объема. Количество пирамид равняется количеству граней выбранного правильного многогранника.

С целью выявления ажурности модели на ее гранях возможно выполнить прорези-«окошки» соответствующие заданной геометрии грани (рис. 135, 136). Такое решение требует внесения необходимых дополнений в чертежи разверток.

Рис. 135


Рис. 136

Макеты могут выполняться как однотонными, так и многоцветными. Цветными полосами бумаги могут быть «подчеркнуты» ребра многогранников. Отдельными накладными равносторонними пятиугольными элементами возможно оформить грани додекаэдра, а равносторонними треугольными элементами - икосаэдра. Но длина стороны накладного элемента всегда выбирается меньше, чем длина стороны декорируемого многогранного объема (рис. 137).

Рис. 137

При введении в макет цвета не следует забывать общее правило: насыщенный, «агрессивный» цвет отвлекает зрительское восприятие от цельности объема.

Поиск по сайту: