МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

ЛЕКЦИЯ 3

Материал первой лекции был посвящен изучению абстракций, касающихся того, как можно моделировать токи и напряжения или, коротко, сигналы электрической цепи. Затем, во второй лекции, мы рассмотрели двухполюсные и чктырехполюсные компоненты электрической цепи. Для каждого изученного компонента мы получили уравнение или, как еще говорят, математическое соотношение, связующее для компонента его токи и напряжения. При этом сигналы нами рассматривались для одного компонента, а сами компоненты были не связаны друг с другом.

Но слово «цепь» означает некоторую систему, в которой компоненты как – то связаны друг с другом с помощью проводников (как говорят, цепь имеет топологию). Соответственно токи и напряжения в цепи связаны друг с другом и представляют то, что на языке математики означает систему уравнений. Поэтому следующим этапом в изучении электротехники и электроники будет переход к «всеобъемлющему» рассмотрению цепи, как некоторой системы элементов, соединенных и взаимодействующих друг с другом, со своими токами и напряжениями.

Так как всякая система характеризуется совокупностью устойчивых связей элементов друг с другом, то мы начнем с определения того, что применительно к электрической цепи означает термин «взаимосвязанные элементы», каковы бывают виды соединений элементов и какими понятиями соединения характеризуются. Кроме того, мы познакомимся с тем, как соединения элементов отражаются визуально, графически с помощью схемы электрической цепи.

Затем мы распространим полученные для отдельных компонентов соотношения для токов и напряжений на цепь любой сложности. Мы рассмотрим фундаментальные соотношения (их еще называют законами электрической цепи), связывающие в систему токи и напряжения в любой цепи. Также обсудим типичные задачи анализа цепей, формальные алгоритмы их решения, которые позволяют по заданной топологии цепи определить ток и напряжение на отдельном элементе электрической цепи или проанализировать общее «поведение» всей цепи.

В электротехнике постоянно приходиться выяснять, для чего электрическая цепь предназначена, как функционирует и ведет себя при различных воздействиях. В этой связи постоянно приходится обращаться к функциональным описаниям цепи, когда всю цепь или какой – то ее фрагмент представляют в виде «двухполюсника» или «четырехполюсника», как «черного ящика с входом и выходом. Мы остановимся на том, как характеризуют двухполюсную цепь при изменении частоты входного воздействия. Это важно для случая, когда участок цепи представляет некую нагрузку для источника (генератора) сигнала, а сопротивление нагрузки (импеданс) зависит от частоты.

Для четырехполюсных цепей, имеющих вход и выход, как правило, приходиться выяснять, что произойдет с цепью, когда на ее вход будет подано заранее известное, как говорят, тестовое воздействие. Также важно для такой цепи, что будет представлять собой «отклик» цепи (сигнал на выходе, реакция цепи) на заданное воздействие. Мы покажем, как определяют «отклик» на наиболее типичные виды воздействий.

При гармонических входных воздействиях сигнал на выходе четырехполюсной электрической цепи, как, впрочем, и на отдельных ее элементах, будет той же формы, что и на входе. Будет различной амплитуда и начальная фаза. Поэтому для оценки «отклика» в этом случае важно установить, как меняются амплитуды и начальные фазы по отношению к входному воздействию. Мы изучим амплитудно – частотные и фазо – частотные характеристики цепи, отражающие зависимости амплитуды и начальной фазы «отклика» от частоты при неизменном гармоническом воздействии на вход.

В том случае, когда осуществляется подключение или отключение (коммутация) источника сигнала, либо какого – нибудь элемента цепи, важно получить соотношение, описывающее «отклик» со всей полнотой. Мы изучим, как определять токи и напряжения, возникающие на элементах цепи при коммутации, рассмотрим, что представляет процесс перехода электрической цепи из одного состояния в другое или, коротко, переходный процесс. Мы покажем, что использование введенного маркизом Пьером Симоном де Лапласом (1749 – 1827) преобразования позволяет получить формальную и относительно простую последовательность действий для нахождения отклика электрической цепи на входной сигнал, имеющий весьма сложную форму. Мы проанализируем также, что будут представлять собой «отклик» электрической цепи на тестовые импульсные воздействия: на функцию Хевисайда – переходная характеристика; на импульс Дирака – импульсная характеристика.

В конце лекции мы рассмотрим, как анализируют трехфазные и магнитные цепи.

Отметим, резюмируя сказанное, что область применения описаний и анализа электрических цепей чрезвычайно широка и многообразна. Это делает «язык», используемый в ней, исключительно ценным для понимания того, что происходит в электрических цепях, для их анализа. Таким образом, цель этой лекции состоит в том, чтобы помочь вам научиться «говорить» на этом языке и решать типовые задачи электротехники и электроники.

3.1. Понятия топологии и законы электрической цепи

3.1.1. Понятия, характеризующие соединения элементов цепи

Одной из многих абстракций, используемых в электротехнике, является схема.

Схема электрической цепи - графическое изображение электрической цепи, показывающее с помощью условных графических обозначений состав элементов цепи и соответствующие соединения ее элементов. Схема обычно представляет выполненный на плоскости по определенным правилам чертеж (эскиз). Реальные элементы на схеме изображаются с помощью условных графических обозначений (УГО). Все соединения элементов на схеме или, как говорят электрические связи, показываются с помощью линий - идеальных проводников электрического тока. Схеме всегда присуща определенная структура и геометрическая конфигурация (порядок соединения между собой элементов, графический образ, показывающий расположение элементов).

Основными понятиями, характеризующими структуру и геометрическую конфигурацию цепи, являются участок (фрагмент цепи), ветвь, узел, контур.

Участок (фрагмент) электрической цепи – соединение друг с другом некоторого числа элементов цепи.

Ветвь электрической цепи – это двухполюсный фрагмент (участок) электрической цепи, в котором втекающие и вытекающие токи одинаковы. Ветвь может быть образована одним или несколькими последовательно включенными двухполюсными компонентами.

Узел электрической цепи это точка на схеме, в которой сходятся (соединяются) более двух ветвей или полюсов многополюсных компонентов. Соединение только двух ветвей также считается узлом. Такой узел называется простым.

Контур электрической цепи - это замкнутая цепочка ветвей, которая объединяет узлы. При этом предполагается, что каждая ветвь и каждый узел могут войти в контур только один раз. Для того, чтобы выделить контур визуально проводят замкнутую линию, проходящую рядом с ветвями и узлами, составляющими контур. Контур, который содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры, называют независимыми.

Рис.3.1. Пример электрической цепи

В качестве примера рассмотрим схему электрической цепи, показанную на рис.3.1. Ветви схемы представлены двухполюсными компонентами R0, R1, L0, C0, C1, V0. Схема содержит пять узлов, номера которых обведены рамочкой (узел 5, имеющий нулевой потенциал, не показан). Узел 4 составляют два вывода двухполюсных компонента L0, C1 и вывод трехполюсного компонента Q0. Аналогично, в состав узлов 2 и 3 входит вывод многополюсного компонента Q0. Схему можно охарактеризовать четырьмя независимыми контурами, составленными замкнутыми цепочками ветвей. Эти контура выделены штриховыми и штрихпунктирными линиями. Например, контур 1 составляют двухполюсные компоненты L0, C0, C1.

3.1.2. Основные законы электрической цепи

В 1847 году немецкий естествоиспытатель Густав Роберт Кирхгоф (1824 – 1887) экспериментально установил законы, которые лежат в основе анализа электрических цепей (более верно было бы их называть аксиомами).

В теории электротехники обычно принята следующая формулировка первого закона Кирхгофа.

Алгебраическая сумма токов, сходящихся к любому узлу электрической цепи, тождественно равна нулю в любой момент времени

(3.1)

Токи, направленные к узлу, записывают в уравнение (3.1) со знаком «плюс», а токи, направленные от узла, – со знаком «минус».

Заметим, что классическая формулировка первого закона Кирхгофа вызывает серьезные затруднения при определении токов многополюсных компонентов. В трехполюсном компоненте Q0, например, нет узла, поэтому нельзя судить о том, как связаны токи выводов этого компонента.

Приведем другую формулировку первого закона Кирхгофа в большей степени отражающий его суть – сохранение заряда.

Отделим замкнутой поверхностью произвольный участок цепи, как это показано на рис.3.1 справа. Эта поверхность разделит цепь на два фрагмента: на участок цепи который лежит внутри поверхности и вне ее. Выводы и направления токов через эту поверхность показаны стрелкой.

Первый закон Кирхгофа в новой формулировке будет таким.

Алгебраическая сумма токов, протекающих через замкнутую поверхность, разделяющую произвольную цепь на два фрагмента, внутренний и внешний, будет равна нулю в любой момент времени.

Теперь, если выводы трехполюсного компонента Q0 мысленно окружить замкнутой поверхностью, то тогда на основании первого закона Кирхгофа в последней формулировке можно утверждать, что в любой момент времени алгебраическая сумма токов, протекающих через выводы, будет равна нулю.

Классическая формулировка второго закона Кирхгофа звучит следующим образом.

Алгебраическая сумма напряжений на всех элементах, находящихся в цепочках ветвей контура, тождественно равна нулю в любой момент времени.

Такая формулировка не учитывает тот факт, что в ветвях могут находиться идеальные источники тока, у которых напряжение на выводах неизвестно. Представляется более строгой формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС источников, включенных в ветвях любого контура электрической цепи, равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах того же контура в любой момент времени

(3.2)

При записи уравнения (3.2) знаки ЭДС и напряжений определяются выбранным направлением обхода контура.

ЭДС и напряжение записывается в уравнение со знаком «плюс», если их направления совпадают с выбранным направлением обхода контура.

Заметим, что контур не обязательно должен быть простым. Если взять произвольные точки электрической цепи (это важно для многополюсных компонентов) и считать их вершинами многоугольника, то второй закон Кирхгофа будет выполняться для любого замкнутого контура, проведенного по вершинам многоугольника. Для цепи, показанной на рис.3.1, вершинами многоугольника можно взять узлы 2, 4, 3, 5. Тогда при направлении обхода против часовой стрелки можем записать

3.2.Соединения элементов цепи и их свойства

3.2.1. Последовательное соединение элементов цепи

Последовательным называют такое соединение фрагментов (участков) цепи или отдельных ее элементов, в котором ток через все участки цепи и элементы одинаков по величине и направлению.

Представим последовательное соединение элементов цепи в виде эквивалентного двухполюсника. Схема последовательного соединения трех элементов, включенных в одну ветвь, и эквивалентный двухполюсник, которым мы хотим заменить цепь, показаны на рис.3.2.

На основании второго закона Кирхгофа для цепи имеем

(3.3)

или, в общем случае

(3.4)

Напряжение и ток на выводах эквивалентного двухполюсника, которым мы хотим заменить цепь, связаны законом Ома

(3.5)

Рис.3.2. Последовательное соединение элементов цепи

Сравнивая (3.4) и (3.5) находим

(3.6)

Таким образом, комплексное сопротивление последовательного соединения элементов равно сумме комплексных сопротивлений всех элементов, образующих соединение.

Из (3.3) несложно заметить, что последовательное соединение «делит» входное напряжение между элементами цепи.

Два последовательно соединенных элемента образуют простейший делитель напряжения (рис.3.3). Говорят, что он состоит из двух «плеч»: нижнего и верхнего. При этом напряжение на зажимах всей цепи рассматривают как входное, а на нижнем плече делителя, как выходное.

Для анализируемой цепи при гармоническом входном сигнале амплитуда напряжения на нижнем плече делителя равна

(3.7)

Соотношение(3.7) определяет важное свойство простейшего делителя напряжения, которое следует запомнить:

амплитуда напряжения на интересующем нас плече делителя напряжения равна амплитуде входного напряжения, умноженной на сопротивление интересующего плеча делителя и деленной на сумму сопротивлений плеч делителя.

Отношение сопротивлений определяет коэффициент деления Kd, показывающий во сколько раз амплитуда напряжения на выходе будет меньше чем на входе

Рис.3.3. Простейший делитель напряжения и его реализация с помощью переменного резистора

В цепях постоянного тока, где плечи уменьшают потенциал (рис.3.3), делители напряжения называют потенциометрами.

Переменный резистор может выполнять функцию делителя напряжения с переменным коэффициентом деления Kd(α). Величина Kd(α) зависит от угла поворота α ручки резистора.

Рассмотрим случай, когда переменный резистор (рис.2.19), состоящий из резистивного элемента (на рис.3.3 условно показан прямоугольником) и перемещающейся по нему контактной щетки (на рис.3.3 условно показана стрелкой) «делит» постоянное напряжение U_ВХ. При расположении контактной щетки, показанном на рис.3.3, переменный резистор состоит как бы из двух плеч. Верхнее плечо определяется сопротивлением участка резистивного элемента R₁ нижнее плечо – R₂. В соответствии с (3.7) для переменного резистора можно записать

(3.8)

Вращая ручку переменного резистора и перемещая, тем самым, положение контактной щетки, можно добиться, чтобы Kd(α)=1 и напряжение с входа полностью передавалось на выход, и, наоборот, Kd(α)=0, чтобы напряжение на выход не поступало. Действительно, в самом верхнем положении контактной щетки

В нижнем положении контактной щетки

3.2.2. Параллельное соединение элементов цепи

Параллельным называют такое соединение фрагментов (участков) цепи или отдельных ее элементов, в котором напряжение на всех участках цепи или элементах одинаково по величине и направлению.

Представим параллельное соединение элементов цепи в виде эквивалентного двухполюсника. Схема параллельного соединения трех элементов. подсоединенных к двум узлам, и эквивалентный двухполюсник, которым мы хотим заменить цепь, показаны на рис.3.2.

Рис.3.4. Параллельное соединение элементов цепи

Для гармонического сигнала на основании первого закона Кирхгофа имеем

(3.9)

или в общем случае

(3.10)

Напряжение и ток на выводах эквивалентного двухполюсника, которым мы хотим заменить цепь, связаны Законом Ома

(3.11)

Сравнивая (3.10) и (3.11) находим

(3.12)

То есть, комплексная проводимость параллельного соединения элементов электрической цепи равна сумме комплексных проводимостей всех элементов, образующих соединение.

Комплексное сопротивление двух параллельно соединенных элементов определяется следующей формулой

(3.13)

То есть, комплексное сопротивление двух параллельно соединенных элементов электрической цепи равно произведению комплексных сопротивлений этих элементов, деленному на сумму их комплексных сопротивлений

Из (3.9) несложно заметить, что параллельное соединение «делит» входной ток между элементами цепи.

Два параллельно соединенных элемента образуют простейший делитель тока (рис.3.5). Он состоит из двух ветвей.

Рис.3.5. Простейший делитель тока и его реализация в приборах измерения тока и для шунтирования резистора

Амплитуды токов в ветвях простейшего делителя соответственно равны

(3.14)

(3.15)

Соотношения (3.14) и (3.15) определяют следующее важное свойство простейшего делителя тока, которое следует запомнить: аплитуда тока в интересующей нас ветви делителя определяется амплитудой входного тока, умноженной на сопротивление другой ветви и деленной на сумму сопротивлений ветвей делителя.

Это свойство свидетельствует о том, что большая часть тока всегда протекает по той ветви сопротивление которой меньше. В частности, если одна ветвь представляет собой КЗ перемычку, то по ней протекает весь ток.

Если требуется уменьшить ток в элементе электрической цепи, то параллельно ему включается элемент, который называется шунтом.

Шунтом принято называть одну из двух параллельно соединенных ветвей, которая подключается для уменьшения тока в другой ветви.

Шунт применяют для расширения пределов измерения тока амперметрами (рис.3.5). Параллельно амперметру с сопротивлением R_A включают специальный резистор с малым сопротивлением R_ш. . В этом случае амперметр вместо реально протекающего тока I_ВХ будет показывать ток

. (3.16)

Делитель тока используют часто в электронике для шунтирования конденсатором резистора по переменному току (рис.3.5).

(3.17)

Представим такие цепочки из формул.

Постоянный ток .

Следовательно, весь постоянный ток протекает через резистор.

Переменный ток высокой частоты

Т.е. в этом случае переменный ток высокой частоты через резистор не протекает.

3.2.3. Смешанное соединение элементов цепи

Смешанным называют соединение, образованное параллельным или последовательным соединением участков цепи, в пределах которых отдельные элементы, в свою очередь, соединены только последовательно или параллельно.

Типичным примером такого соединения является схема двухполюсника, показанная на рис.3.6.

Рис.3.6. Пример смешанного соединения элементов цепи

На этой схеме имеется группа элементов Z₅, Z₆, соединенных параллельно. Эта группа с элементом Z₂ соединена последовательно. Отмеченное последовательно-параллельное соединение, в свою очередь, является участком цепи, включенным параллельно элементу Z₄. Эта группа элементов включена последовательно с элементом Z₁. Наконец, отмеченная выше цепь включена последовательно с элементом Z₂.

Словесная формулировка имеющихся разновидностей соединения выделенных групп последовательных и параллельных элементов называется формулой соединения. Зная формулу соединения можно существенно упростить электрическую цепь, заменив ее эквивалентным двухполюсником с комплексным сопротивлением Z_экв.

Формула смешанного соединения элементов электрической цепи, показанной на рис.3.6 следующая.

Электрическая цепь представляет собой параллельное соединение двух ветвей. В первую ветвь входит элемент с комплексным сопротивлением Z₃. Вторая ветвь образована последовательным соединением элемента Z₁. и параллельно включенных элемента Z₄ и ветви, которая образованна последовательным соединением элемента Z₂. и участка цепи с параллельным соединением элементов Z₅, Z₆.

На основании соотношений по формуле соединения можем записать

(3.18)

3.2.4. Соединение элементов цепи «звездой» и «треугольником»

В ряде случаев не удается осуществить преобразование некоторой части цепи, опираясь на схемы последовательного и параллельного соединения элементов. Для упрощения не представляющих собой смешанное соединение электрических цепей, в электротехнике используют соединения элементов цепи «треугольником» и «звездой» (рис3.7).

Преобразования конфигурации цепи в эквивалентное соединение осуществляются таким образом, чтобы после преобразования режимы остальной, не преобразованной части цепи оставались неизменными. При равенстве комплексных амплитуд токов и напряжений между соответствующими парами полюсов (выводов) в исходной и преобразованной цепях будут равны и комплексные сопротивления обоих трехполюсников между рассматриваемыми парами полюсов.

Рис.3.7. Пример соединения элементов цепи «звездой» и «треугольником»

Опираясь на это условие эквивалентности, без вывода запишем формулы, позволяющие рассчитывать комплексные сопротивления одного типа соединения по известным величинам сопротивлений другого.

Если заданы комплексные сопротивления «треугольника» и отыскиваются сопротивления эквивалентной ему «звезды», то следует пользоваться формулами:

(3.19) (3.20)

(3.21)

Правило преобразования «треугольника» в «звезду»: комплексное сопротивление луча «звезды» равно произведению двух комплексных сопротивлений «треугольника», присоединенных в нем к одноименному (подобному) узлу, деленному на сумму всех сопротивлений «треугольника».

Если заданы комплексные сопротивления «звезды» и отыскиваются сопротивления эквивалентного ему «треугольника», то следует пользоваться формулами:

(3.22)

Правило преобразования «звезды» в «треугольник»: комплексное сопротивление ветви треугольника равно сумме попарных произведений комплексных сопротивлений лучей звезды, деленной на комплексное сопротивление луча, не подсоединенного к одноименным узлам.

3.2.5. Последовательный колебательный контур и его свойства

Последовательным колебательным контуром называется двухполюсная электрическая цепь, подключенная к источнику гармонического сигнала и содержащая в своем составе резистор, конденсатор и индуктивность, соединенные последовательно (рис.3.8).

Рис.3.8. Последовательный колебательный контур

Резистор может в контур может специально не включаться, но в контуре он всегда будет присутствовать, отражая потери, имеющие место в реальных реактивных элементах.

Комплексное сопротивление последовательного контура определяется следующими соотношениями

(3.23)

Изобразим для последовательного колебательного контура график зависимости реактивного сопротивления Х от частоты (рис.3.9), учитывая, что

(3.24)

Рис.3.9. График зависимости реактивного сопротивления от частоты

Анализ графика показывает, что на частоте ω₀ реактивное сопротивление контура X становиться равным нулю. Это свидетельствует о том, что сопротивление цепи становиться чисто резистивным (активным) и сдвиг фаз между напряжением и током в контуре равен нулю.

Явление в электрической цепи, содержащей индуктивность и емкость, при котором сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю, называется электрическим резонансом.

Частота, на которой наблюдается данное явление, получило название резонансной частоты.

Резонансную угловую частоту ω₀, как скорость изменения полной фазы, можно определить из (3.25)

(3.25)

Соответственно, резонансная частота f₀ равна

(3.26)

В диапазоне частот, когда частота источника сигнала меньше резонансной частоты f<f₀, преобладает реактивное сопротивление емкости, сопротивление контура имеет активно - емкостной характер и фазовый сдвиг между напряжением и током есть величина отрицательная.

В области частот f>f₀ преобладает реактивное сопротивление индуктивности, сопротивление контура активно – индуктивное, напряжение на выводах цепи опережает по фазе ток.

Для более детальной характеристики явления резонанса рассмотрим процессы обмена энергией, которые происходят в последовательном контуре.

Если исходить из (2.29) и (2.37) а также из того, что через реактивные элементы протекает ток одинаковой амплитуды, то можно показать, что на резонансной частоте средние значения энергий емкости и индуктивности одинаковы, а их сумма является величиной постоянной, не зависящей от времени. Это свидетельствует о том, что энергия, которую первоначально (при подключении) накопили емкость и индуктивность в своих электрических и магнитных полях в последующем только перераспределяется между ними или, другими словами, перекачивается из емкости в индуктивность и обратно, причем уже без участия в этом процессе источника энергии. В идеале, если бы при этом исключить резистор и потери в реактивных элементах, то источник можно было бы вообще отключить и, несмотря на это, в последовательном колебательном контуре все равно бы протекал непрерывный периодический процесс обмена энергией между электрическим полем емкости и магнитным полем индуктивности.

В реальном последовательном контуре из-за сопротивления часть энергии обменных процессов превращается в тепло, поэтому источник энергии все время восполняет необратимые потери энергии в сопротивлении.

Отношение величин энергий, накапливаемых на резонансной частоте в реактивных элементах последовательного контура к энергии, расходуемой в цепи в виде необратимых потерь, за период, называется добротностью контура. Обычно при оценке величины добротности указанное отношение умножают на множитель 2π.

(3.27)

(3.28)

Из формул следует, что величина добротности помимо того, что характеризует соотношение энергий, отражает также во сколько раз реактивные сопротивления элементов контура больше активного сопротивления R.

Отметим, что величина добротности последовательных контуров в зависимости от качества конденсатора и катушки индуктивности составляет Q =50…120.

Поскольку реактивные сопротивления на резонансной частоте равны и через них протекает один и тот же ток. то амплитуды напряжений на реактивных элементах контура равны U_mL =U_mC. К тому же,

(3.29)

(3.30)

Следовательно, на резонансной частоте амплитуды напряжений на реактивных элементах в Q раз превышают амплитуду напряжения, поданного на контур от источника.

Комплексное сопротивление последовательного контура (3.23) можно выразить через добротность

(3.31)

Тогда полное сопротивление цепи равно

(3.32)

График зависимости полного сопротивления последовательного контура от частоты показан на рис.3.10.

Рис.3.10. График зависимости полного сопротивления последовательного контура от частоты

Полное сопротивление контура на резонансной частоте минимально и равно сопротивлению R.

Если последовательный контур подключить к реальному источнику гармонической ЭДС, то, исходя из правила простейшего делителя напряжения, можно утверждать, что последовательный контур подавляет («вырезает», осуществляет режекцию) напряжения резонансной частоты.

Резюмируя сказанное отметим, что последовательный колебательный контур обладает следующими свойствами.

1. В контуре наблюдается явление электрического резонанса. Поскольку напряжения на реактивных элементах увеличиваются в Q раз по сравнению с напряжением источника, то правильнее говорить, что в контуре имеет место явление электрического резонанса напряжений.

2. В случае высокой добротности контура явление резонанса характеризуется тем, что контур мало энергии потребляет от источника, а внутри него идет непрерывно периодический процесс обмена энергиями реактивных элементов. Контур как бы становиться генератором гармонической ЭДС.

3. Напряжение на реактивных элементах может почти в 100 раз (точнее в Q раз) превышать напряжение источника.

4. Сопротивление контура на резонансной частоте минимально и практически равно нулю. Если источник гармонической ЭДС вырабатывает сигналы с несколькими частотами, то последовательный контур подавляет сигнал, частота которого совпадает с резонансной частотой. Режекция будет тем лучше, чем больше величина добротности контура. Это свойство можно использовать для подавления сигналов – помех.

5. Для обеспечения передачи энергии от источника в нагрузку контур, при работе на резонансной частоте, должен подключаться к реальному источнику ЭДС, обладающему малым внутренним сопротивлением.

3.2.6. Параллельный колебательный контур и его свойства

Параллельным колебательным контуром называется двухполюсная электрическая цепь, подключенная к источнику гармонического сигнала и содержащая в своем составе резистор, конденсатор и индуктивность, соединенные параллельно (рис.3.11).

Рис.3.11. Параллельный колебательный контур

Резистор в контур может специально не включаться, но в контуре он всегда будет присутствовать, отражая потери, имеющие место в реальных реактивных элементах.

Комплексная проводимость параллельного контура определяется следующими соотношениями

(3.33)

Изобразим для параллельного колебательного контура график зависимости реактивной проводимости Y от частоты (рис.3.12), учитывая, что

(3.34)

Анализ графика показывает, что на частоте ω₀ реактивная проводимость контура становиться равной нулю. Это свидетельствует о том, что сопротивление цепи становиться чисто резистивным (активным) и сдвиг фаз между напряжением и током в контуре равен нулю. Следовательно, в параллельном контуре также имеет место явление электрического резонанса. Резонансная

Рис.3.12. График зависимости реактивной проводимости параллельного контура от частоты

частота параллельного контура определяется той же формулой что и резонансная частотота последовательного контура

(3.35)

В диапазоне частот, когда частота источника сигнала меньше резонансной частоты f<f₀, преобладает реактивное сопротивление индуктивности, сопротивление контура имеет активно - индуктивный характер и фазовый сдвиг между напряжением и током есть величина положительная.

В области частот f>f₀ преобладает реактивное сопротивление конденсатора, сопротивление контура активно – емкостное, ток источника опережает по фазе напряжение на выводах.

Если рассмотреть, что происходит в параллельном контуре с энергией, то можно установить, что и при параллельном соединении реактивных элементов на резонансной частоте происходит непрерывный периодический процесс обмена энергиями между электрическим полем конденсатора и магнитным полем индуктивности, который сопровождается необратимыми потерями части энергии на резисторе. Энергия, поступающая от источника электрической энергии в контур, компенсирует тепловые потери на сопротивлении контура.

Контур оценивается добротностью, показывающей отношение (с учетом 2π) величин энергий, накапливаемых на резонансной частоте в реактивных элементах параллельного контура к энергии, расходуемой в цепи в виде необратимых потерь, за период. Добротность параллельного контура определяется формулой

(3.36)

Следует иметь в виду, что, величины R, входящие в формулу добротности в параллельном (3.36) и последовательном (3.27, 3.28) контуре, существенно различны. Если не включать в контур дополнительный резистор, а учитывать только потери реактивных элементов, величины R в формулах добротности последовательного и параллельного контуров будут различаться на несколько порядков. При последовательном соединении L и C величина R=r, определяясь сопротивлением провода катушки r, будет составлять несколько десятков Ом. В параллельном контуре потери на тепловыделение за счет нагревания провода пересчитывают по формуле R=ρ² /r, поэтому его величина десятки кОм.

Отметим, что величина добротности параллельных контуров в зависимости от качества конденсатора и катушки индуктивности составляет Q =50…120.

Поскольку реактивные проводимости на резонансной частоте равны и на них одно и тоже напряжение, то амплитуды токов на реактивных элементах контура равны I_mL =I_mC. К тому же,

(3.37)

(3.38)

Следовательно, на резонансной частоте амплитуды токов на реактивных элементах в Q раз превышают амплитуду тока, поданного на контур от источника.

Комплексное сопротивление параллельного контура, если его выразить через добротность, равно

(3.39)

Тогда полное сопротивление цепи равно

(3.40)

График зависимости полного сопротивления параллельного контура от частоты показан на рис.3.13.

Рис.3.13. График зависимости полного сопротивления параллельного контура от частоты

Полное сопротивление контура на резонансной частоте максимально и равно сопротивлению R. С отклонением от резонансной частоты (с увеличением расстройки относительно резонансной частоты) полное сопротивление контура уменьшается.

Если параллельный контур подключить к реальному источнику гармонического тока, то можно утверждать, что параллельный контур «выделяет» напряжение резонансной частоты, а также сигналы, частоты которых находятся в полосе (диапазоне) частот примыкающей к резонансной частоте. Этот диапазон частот называют полосой пропускания контура. Границы полосы пропускания определяют частоты f₁ и f₂. Полоса пропускания контура определяется формулой

(3.41)

Резюмируя сказанное отметим, что параллельный колебательный контур обладает следующими свойствами.

1. В контуре наблюдается явление электрического резонанса. Поскольку ток на реактивных элементах увеличиваются в Q раз по сравнению с током источника, то правильнее говорить, что в контуре имеет место явление электрического резонанса токов.

2. В случае высокой добротности контура явление резонанса характеризуется тем, что контур мало энергии потребляет от источника, а внутри него идет непрерывно периодический процесс обмена энергиями реактивных элементов. Контур как бы становиться генератором гармонической ЭДС.

3. Ток на реактивных элементах может почти в 100 раз (точнее в Q раз) превышать ток источника.

4. Если источник гармонического тока вырабатывает сигналы с несколькими частотами, то параллельный контур выделяет сигналы, частоты которых лежат в его полосе пропускания. Выделение сигналов будет тем лучше, чем больше величина добротности контура. Это свойство можно использовать для выделения полезных сигналов, например в радиовещательном приемнике.

5. Сопротивление параллельного контура на резонансной частоте максимально. Для обеспечения передачи энергии от источника в нагрузку параллельный контур, при работе на резонансной частоте, должен подключаться к реальному источнику тока, обладающему большим внутренним сопротивлением. При малых величинах внутренних сопротивлений источника добротность контура существенно уменьшается.

3.2.7. Пьезоэлектрический элемент и его свойства

В электронике крайне необходимы устройства, способные генерировать сигналы с очень стабильными параметрами или точно выделять их из большой совокупности (фильтровать). Чтобы реализовать такие устройства, необходимы контура имеющие очень высокую добротность. Добиться этого от контуров, выполненных из реальных конденсаторов и катушек индуктивности, не представляется возможным, даже, несмотря на то, что предпринимаются ряд специальных конструктивных мер.

Добиться высокой добротности от резонансной системы, как оказалось, можно применяя пьезоэлектрические резонаторы.

Термин «пьезо» происходит от греческого слова «piezo» - давлю. Ряд материалов при давлении на них создают на внешней поверхности электрический заряд, как говорят, пьезоэлектричество. Существует и обратный пьезоэффект, который сводится к тому, что приложенное к материалу электрическое напряжение приводит к возникновению механических деформаций, которые меняют форму и размеры материала. Возможными видами механических колебаний являются сжатия – растяжения, изгиба, кручения, сдвига. В 1920 году проф. У.Кэди предложил пьезоэлектрический резонатор- - устройство, в котором кварц был зажат между электродами. Идея такого решения состояла в следующем. При воздействии на кварц переменным напряжением материал начинает «вибрировать». Если выбрать частоту переменного напряжения равной частоте внутренних механических колебаний (она определяется геометрическими размерами пластинки кварца, видом среза, способом ее крепления и т.п.) то в такой системе возникает механо - электрическое явление, подобное электрическому резонансу, но обладающее при этом очень высокой добротностью. Это устройство назвали пьезоэлектрическим резонатором.

Пьезоэлектрический резонатор это способный совершать резонансные колебания под действием электрического напряжения соответствующей частоты компонент электрической цепи с электромеханической связью, содержащий в своем составе заключенные в специальный корпус пьезоэлемент и электроды, которые поддерживают пьезоэлемент.

Электрические характеристики пьезоэлектрического резонатора в области резонансных частот достаточно полно описывается эквивалентной схемой, показанной на рис. 3.14.

Рис.3.14. Эквивалентная схема пьезоэлектрического резонатора

Цепочка виртуальных элементов L1, C1, R1 относится к ветви последовательного резонанса. Данные элементы физически не существуют, но они достаточно точно отражают механические характеристики пьезорезонатора: массу (L1), упругие свойства пьезоматериала и электродов (C1), потери энергии (R1). Емкостной элемент C0, резистивный R0 и элемент L1 составляют ветвь параллельного резонанса. Элемент С0 характеризует емкостные свойства материала и его держателей. R0 отражает способность материала проводить через себя электрический ток.

Следует помнить, что любой пьезорезонатор может «работать в резонансе» на нескольких частотах, что и используется на практике. При этом его характеристики будут существенно отличаться. При настройке на частоту последовательного резонанса пьезорезонатор представляет собой двухполюсник обладающий очень малым сопротивлением, фактически – КЗ перемычку. При настройке на частоту параллельного резонанса – разрыв цепи. Указанные свойства пьезорезонаторов используют в фильтровых устройствах.

Если пьезорезонатор используется для генерации колебаний, то следует иметь в виду, что частота последовательного резонанса существенно зависит от малостабильной межэлектродной емкости С0. Такие резонаторы, исходя из назначения, называют генераторными.

Следует иметь в виду, что резонансная частота пьезорезонатора зависит от температуры окружающей среды. По этой причине кварцевые резонаторы термостабилизируют.

Номинальное значение частоты, на которой рекомендуется использовать пьезорезонатор, обычно записано на корпусе компонента. Вся система параметров пьезорезонатора, а также информация о том, на каком виде резонанса его предпочтительнее использовать, обычно приводится в сопровождающей его документации.

Длительное время в качестве материала пьезорезонатора используется природный кварц. В пятидесятых годах прошлого столетия научились изготовлять искусственный кварц, который по некоторым показателям даже превосходит природный аналог. Добротность кварцевых резонаторов составляет 10⁴ …10⁶. Применение кварцевых резонаторов в генераторных устройствах позволяет обеспечить относительное изменение частоты не превышающее 10^-6 …10^-9 .

В последние годы стали широко использовать пьезоэлектрический эффект у керамических материалов на основе смеси титаната – цирконата свинца Pb(Zr,Ti)O₃ . В литературе этот материал еще называют PZT – или ЦТС – керамикой. Добротность (Q=600…4000) и температурная стабильность у таких пьезорезонаторов хуже, чем у кварцевых. Однако они обладают и рядом достоинств: существенно более низкой стоимостью; более высокой устойчивостью к механическим воздействиям; меньшими габаритами. Керамические пьезорезонаторы применяют в тех случаях, когда требуется низкая стоимость и не очень высокая стабильность. Кроме того, они больше подходят для устройств при эксплуатации которых характерны узкий температурный диапазон работы, подверженность непредсказуемым механическим воздействиям (падения, удары). Основная область их применения – в качестве компонентов пультов управления, не очень высокоточных приборов отсчета времени и, наконец, встроенных в аппаратуру микроконтролерров различных устройств.

3.3. Методы расчета и анализа электрических цепей с гармоническими источниками

3.3.1. Метод контурных токов

В электротехнике и электронике необходимо проводить анализ электрической цепи, т. е. вычислять токи и напряжения для всех элементов цепи. Если цепь простая, то анализ можно провести. используя изложенные выше приемы. Однако в ряде случаев электрические цепи бывают весьма сложными и для их анализа уже недостаточно простых и наглядных приемов.

Имеют универсальный характер и пригодны при любых видах воздействий системы уравнений, составленные на основании первого и второго законов Кирхгофа. Однако, общее количество уравнений, которые необходимо составить и затем решить весьма велико.

В 1873 году Д. К. Максвелл предложил способы понижения порядка системы уравнений при сохранении количества неизвестных. Первый способ получил название метода контурных токов, второй – метод узловых напряжений.

Метод контурных токов (МКТ), по сути, сводится к составлению и решению системы уравнений только на основании второго закона Кирхгофа. Количество уравнений, которое приходится решать определяется количеством простых независимых контуров в цепи.

МКТ формализован и для его реализации необходимо выполнить следующую последовательность действий.

1. Для анализируемой электрической цепи определить независимые контура. Эти контура пометить пунктирными линиями и задать для них направления протекания контурных токов (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Стрелками отметить положительное направление ЭДС.

2. Составить и записать характерную для МКТ систему уравнений в виде

(3.42)

Диагональные элементы матрицы получили название контурных комплексных сопротивлений. Элементы Z матрицы, индексы которых различны, называются взаимными комплексными сопротивлениями.

это комплексные контурные токи и ЭДС, соответственно.

3. Определить, обходя все контуры, в соответствии с направлениями контурных токов, все контурные комплексные сопротивления.

Комплексное контурное сопротивление контура (номер контура соответствует совпадающим цифрам индекса элемента Z) равно алгебраической сумме комплексных сопротивлений, образующих рассматриваемый контур. При этом сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю.

4. Определить все взаимные комплексные сопротивления.

Комплексное взаимное сопротивление (цифры индекса Z указывают на то, между какими рассматриваемыми контурами должны выбираться элементы) равно записанной в соответствии с правилом знаков сумме комплексных сопротивлений элементов, образующих ветвь, смежную между рассматриваемыми контурами.

Правило знаков:

- взаимные сопротивления записываются в систему со знаком «+», когда контурные токи смежных (взаимных) контуров на элементах совпадают по направлению;

- со знаком «-» - когда контурные токи смежных (взаимных) контуров на элементах противоположны по направлению.

Взаимные сопротивления Z_μξ, отличающиеся порядком чередования индексов μ и ξ равны между собой.

Взаимные сопротивления равны нулю, если рассматриваемые контуры не имеют смежных ветвей.

5. Определить все контурные ЭДС

Контурная ЭДС (номер контура соответствует номеру уравнения) равна алгебраической сумме ЭДС источников, действующих в рассматриваемом контуре. ЭДС записывается в сумму со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением рассматриваемого контурного тока. При несовпадении направлений - со знаком «-».

6. Решается полученная система уравнений относительно неизвестных контурных токов.

7. Вычисляются, с учетом направлений, по известным значениям контурных токов токи в элементах и напряжения на них.

3.3.2. Метод узловых напряжений (потенциалов)

Метод узловых напряжений (МУН), по сути, сводится к составлению и решению системы уравнений только на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений, которое приходится решать определяется количеством узлов цепи без одного.

МУН формализован и для его реализации необходимо выполнить следующую последовательность действий.

1. Для анализируемой электрической цепи выбирается базисный узел. Ему приписывают нулевой номер.

Это может, в принципе, быть любой узел цепи, однако удобно выбирать в качестве базисного узел к которому подключено максимальное количество ветвей или тот узел, который соединен с точкой нулевого потенциала.

2. Нумеруются все оставшиеся узлы и обозначаются направления всех узловых напряжений.

Узловые напряжение - это напряжение рассматриваемого узла относительно базисного. На схеме оно обозначается в виде стрелки от рассматриваемого узла к базисному.

3. Составить и записать характерную для МУН систему уравнений в виде

(3.43)

Диагональные элементы матрицы получили название комплексных узловых проводимостей.

Элементы Y матрицы, индексы которых различны, называются взаимными узловыми проводимостями.

это комплексные узловые напряжения и токи, соответственно.

4. Определить комплексные узловые проводимости.

Комплексная узловая проводимость (номер узла соответствует совпадающим цифрам индекса элемента Y) равна сумме комплексных проводимостей ветвей, подключенных к рассматриваемому узлу. Она в уравнение всегда записывается со знаком «+».

5. Определить комплексные взаимные проводимости.

Комплексная взаимная проводимость (цифры индекса Y указывают на то, между какими рассматриваемыми узлами должны выбираться ветви) равна сумме проводимостей ветвей, включенных между рассматриваемыми узлами. Эта проводимость всегда записывается в уравнение со знаком «-».

Взаимные проводимости Y_μξ, отличающиеся порядком чередования индексов μ и ξ равны между собой.

Взаимные сопротивления равны нулю, если между рассматриваемыми узлами нет ветвей.

6. Определить комплексные узловые токи.

Комплексный узловой ток (номер узла соответствует номеру уравнения) равен алгебраической (в соответствии с правилом знаков) сумме токов КЗ ветвей, подключенных к рассматриваемому узлу.

Если в ветви включен идеальный источник тока (ИИТ), то ток КЗ равен току ИИТ. Если в ветви включен идеальный источник напряжения (ИИН) и несколько других элементов, то ток КЗ равен отношению ЭДС ИИН к сумме комплексных сопротивлений элементов, входящих в ветвь. Цепь с одним ИИН в ветви не рассматривается.

Правило знаков:

- если ЭДС ИИН или ток ИИТ направлены к узлу, то ток КЗ записывается со знаком «+»;

- если от узла - со знаком «-».

7. Решается полученная система уравнений относительно неизвестных узловых напряжений.

7. Вычисляются по известным значениям узловых напряжений токи в ветвях и напряжения на элементах.

3.3.3. Энергетические соотношения в электрической цепи

Опыт любого человека свидетельствует о том, что очень многое в жизни основано на потреблении электрической энергии. Это некий универсальный вид энергии, который относительно просто преобразуется в тепло, свет, механическую энергию перемещения и прочее. Его можно передавать на значительные расстояния не вызывая практически при этом никаких загрязнений окружающей среды.

Естественно, что огромное потребление электроэнергии выдвигает задачу экономного расходования энергоресурсов. Поэтому все стремятся к уменьшению ненужных потерь электрической энергии. Электротехника показывает, что нужно делать в этом направлении.

Уже отмечалось, что пользу для человека приносит так называемая «активная» энергия. Скорость поступления и, соответственно, потребления такой энергии характеризует активная мощность электрической цепи - среднее значение мощности за полный период

(3.44)

Только эта мощность может выполнять нужную человеку «работу»: создавать тепло, приводить в движение электродвигатели и т. п.. На примере резистивного элемента мы показали, что и для гармонических токов и напряжений определяется формулой (2.23). С другой стороны, мы установили, что существуют реактивные элементы, которые то забирает энергию из электрической цепи, то возвращает ее обратно в цепь, не потребляя активной мощности и, следовательно, не производя полезной работы. Они характеризуются реактивной мощностью: амплитудой скорости изменения запаса энергии в цепи. Реактивные мощности показывают максимальные значения мощностей на реактивных элементах. Для гармонического тока и напряжения реактивная мощность на реактивном элементе определяется формулой

(3.45)

Реальные приемники электрической энергии по своим свойствам являются активно – реактивными. То есть они представляют устройства, у которых на выводах ток и напряжение имеют фазовый сдвиг φ.

При наличии фазового сдвига φ активная и реактивная мощность будут определяться соотношениями

Множитель называют коэффициентом мощности. Если рассматривать передачу и потребление энергии, то имеет важное практическое значение. Если он равен единице, то реактивной энергии нет, и вся энергия источника расходуется на полезную работу. Если , то нет эффективного использования энергии ни у генерирующих устройств, ни у потребителей. Поставщики электроэнергии, чтобы обеспечить заданную мощность в точке потребления при стандартном напряжении должны обеспечить больший ток

(3.46)

Чем меньше коэффициент мощности, тем больший ток должен протекать по линии передачи электроэнергии, тем больше у энергетиков будут потери на бессмысленное «нагревание проводов».

В настоящее время существуют стандарты, не позволяющие уменьшать ниже определенной величины. Поэтому все промышленные потребители в настоящее время вносят дополнительную плату за несоответствие единице. Чтобы уменьшить эти затраты потребители стремятся рационально организовать работу оборудования и используют различные конструктивные решения, позволяющие увеличивать коэффициент мощности. В частности, поскольку электрические двигатели уменьшают , особенно при работе без нагрузки на вращающемся валу, стараются их максимально загрузить. Поскольку двигатели это индуктивная нагрузка, то на предприятиях используют специальные конденсаторы, компенсирующие индуктивный характер нагрузки. В дальнейшем мы рассмотрим также специальные устройства – корректоры коэффициента мощности, используемые в источниках питания, в лампах дневного света и т.п.

Отметим, что активная мощность измеряется в ваттах (Вт), реактивная – ВАРах (воль-ампер реактивных).

В электротехнике используют также понятия полной и комплексной мощности.

Полная (или ее еще называют кажущаяся) мощность это та максимальная мощность, которая может быть отдана в электрическую цепь, с изменяющимся , в идеальном случае, когда пропадет реактивность цепи.

Комплексная мощность это сумма активной и реактивной мощности, определенная следующим образом

(3.47)

Введение параметра «комплексная мощность» упрощает расчеты электрических цепей с гармоническими токами и напряжениями и позволяет выполнять проверку этих расчетов (проверять баланс мощностей).

3.3.4. Частотные свойства электрической цепи

Все электрические цепи независимо от своего назначения, принципов внутреннего устройства и уровня сложности представляют собой систему, т. е. совокупность физических объектов, между которыми существует определенное взаимодействие. В структуре системы, как отмечалось ранее, можно выделить вход, на который подается исходный электрический сигнал, и выход, на котором возникает полезный сигнал (отклик).

В ряде случаев, чтобы можно было сравнивать и классифицировать электрические цепи, не описывая процессы внутри них, систему представляют в виде «черного ящика» (ящика с неизвестным внутренним содержанием из которого «торчат» четыре провода), для которого интересна и важна лишь связь между сигналами на входе и на выходе.

При таком подходе электрическую цепь характеризуют так называемыми системными функциями, связывающими входное воздействие и отклик цепи на него. Одной из важнейших системных функций четырехполюсной электрической цепи (цепи класса SISO: single inputs – один вход – single outputs –один выход) является комплексный коэффициент передачи. Его используют для оценки отклика цепи на входной гармонический сигнал. Поскольку в этом случае отклик также гармонический, то выходной сигнал будет отличаться от входного лишь амплитудой и начальной фазой.

Комплексный коэффициент передачи двухпортовой четырехполюсной цепи SISO по напряжению это отношение комплексной амплитуды напряжения на выходе цепи на частоте ω к комплексной амплитуде входного гармонического воздействия

(3.48)

При изменении частоты подводимого сигнала коэффициент передачи не остается постоянным. Это происходит потому, что величины сопротивлений элементов цепи, входящих в состав электрической схемы и определяющих коэффициент передачи зависят от частоты

Безразмерная, зависящая от частоты, в общем случае комплекснозначная функция является исчерпывающей характеристикой цепи в частотной области. Для специалистов эта функция относится к числу фундаментальных профессиональных понятий

Функция имеет простую интерпретацию: если на вход цепи поступает гармонический сигнал с известной частотой ω и комплексной амплитудой , то комплексная амплитуда выходного сигнала равна произведению сигнала на входе на коэффициент передачи

(3.49)

Т.е. в сущности, комплексный коэффициент передачи по напряжению , как обобщенная характеристика электрической цепи, описывающая ее свойства, определяет отклик электрической цепи на гармонический сигнал единичной амплитуды и нулевой начальной фазы

Комплексный коэффициент передачи, как отношение двух комплексных величин, сам является комплексной величиной. Поэтому часто удобно представлять его в показательной форме описания комплексных чисел

(3.50)

Модуль комплексного коэффициента передачи называют амплитудно – частотной характеристикой (АЧХ) четырехполюсной цепи. Аргумент комплекснозначной функции φ(ω) называют фазо – частотной характеристикой четырехполюсной цепи.

Поиск по сайту: