Применение Марковских процессов для анализа АСУ

И ее подсистем

Класс случайных Марковских процессов является простейшим и наиболее исследованным в теории случайных процессов. В настоящее время он весьма широко используется при анализе характеристик АСУ для описания их поведения при наличии случайных факторов.

Пусть имеется случайный дискретный процесс, протекающий в системе с возможными состояниями: S0, S1, S2,...,Si,...,Sj,....Обозначим условную вероятность того, что в момент t = t0+t система будет в состоянии Sj, если в момент t0 она была в состоянии Si, через pij(t0,t).

Случайный дискретный процесс функционирования системы называется Марковским, если вероятность pij(t0,t) зависит только от того, в каком состоянии была система в момент t0 и в какое состояние она может перейти через время t.

Различают два основных вида Марковских случайных процессов: с дискретным и непрерывным временем перехода.

Дискретным Марковским процессом называется процесс, у которого переходы из одного состояния в другое возможны в строго определённые моменты времени.

Непрерывным Марковским процессом называется процесс, у которого процесс перехода из текущего состояния Si в последующее состояние Sj возможен в любой момент времени. Марковские случайные процессы с непрерывным временем очень широко используются в практике анализа характеристик АСУ, поэтому в дальнейшем основное внимание уделяется именно этому классу случайных процессов.

Для описания АСУ в данном классе Марковских процессов необходимо: 1)ввести понятие состояния системы; 2)указать все состояния, в которых может находиться система; 3)составить граф переходов системы из состояния в состояние; 4)указать, в каком состоянии находится система в начальный момент времени или задать распределение начальных состояний; 5)указать интенсивность lij(t) потока событий, переводящих систему из состояния Si в состояние Sj, где

(2.7)

В дальнейшем рассматриваются только случаи, когда lij(t)=lij, т.е. интенсивности переходов не зависят от времени, что справедливо для однородных Марковских процессов.

Определение состояния зависит от того, какие характеристики и свойства системы нас интересуют. Например, при исследовании надежности функционирования АСУ динамику её функционирования представляют как чередующийся процесс отказов и восстановлений элементов и системы в целом. При исследовании производительности АСУ её динамику представляют как процесс поступления в случайные моменты требований в систему и их обслуживание. Если требования однородны и обслуживание однофазное, то состояние определяется неотрицательной скалярной величиной; если же требования неоднородны или обслуживание в системе многофазное, то состояние может быть определено как вектор числа требований, каждый компонент которого указывает либо число требований данного типа в системе, либо число требований, находящихся в определенной фазе системы.

Если определено полное множество состояний Марковского процесса, то исчерпывающей характеристикой Марковского процесса является совокупность вероятностей pj(t) того, что процесс в момент времени t будет находиться в состоянии Sj,j=0,1,...,n. Рассмотрим метод определения вероятностей pj(t).

Так как Марковский процесс не обладает последействием, то справедлива следующая система уравнений:

. (2.8)

Из условия следует, что

. (2.9)

Подставляя это выражение в систему уравнений, имеем:

(2.10)

Так как в соответствии с выражением (6)

(2.11)

то из системы уравнений (9) получаем

(2.12)

Совершая в выражении (2.11) предельный переход при ® 0, получаем следующую систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

; j=0, 1,…, n, (2.13)

которую можно решить при начальных условиях pi(0)=1; pj(0)=0.

Получили эквивалентное отображение динамики АСУ на языке случайных Марковских процессов.

Систему дифференциальных уравнений можно построить формально по графу состояний, если придерживаться следующего правила. В левой части каждого уравнения должна стоять производная вероятности состояния, а правая часть должна содержать столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, то соответствующий член имеет знак минус, если в состояние - знак плюс. Каждый член равен произведению интенсивности перехода, соответствующей данной стрелке, и вероятности того состояния, из которого исходит стрелка.

В результате решения системы уравнений (2.12) определяются интересующие нас характеристики Марковского случайного процесса pj(t). При этом необходимо учитывать нормирующее условие .

Для системы, которая может находиться в одном из двух состояний S0 или S1 и граф смены состояний, который представлен на рис. 2, система дифференциальных уравнений Колмогорова будет записана в следующем виде:

(2.14)

Решение системы уравнений (2.13) при начальных условиях Р1(0)=0 и Р0(0)=1 будет иметь вид

Графики зависимости Р0, Р1 от t приведены на рисунках 3а – 3в. Легко заметить, что с ростом t вероятности Р0(t) и Р1(t) стремятся к пределам

Если число состояний конечно и из каждого состояния графа можно перейти за то или иное число шагов в любое другое, то существуют предельные вероятности состояний (финальные вероятности), причём их значения не зависят от начального состояния системы. Вероятность того, что система в произвольный момент времени находится в каком-либо Sj -состоянии, можно определить по формуле

. (2.17)

где Pij – элемент матрицы переходных вероятностей

(2.18)

Матрицу (2.17) часто называют Марковской. Для этой матрицы характерным является то, что сумма элементов каждой её строки равна 1, т.е.

(2.19)

Следует отметить, что обычно установившийся режим поведения системы, а следовательно и предельные вероятности Рj для описывающих систему Марковского процесса интересует значительно чаще, чем переходный режим, требующий определения вероятностей как функций времени.. С целью определения предельных вероятностей Рj в системе уравнений (2.12) нужно положить все левые части уравнений равными нулю. Тогда система дифференциальных уравнений переходит в систему линейных алгебраических уравнений, решение которой позволяет вычислить все предельные вероятности Рj. Полученные оценки вероятностей состояний используются в дальнейшем для получения интегральных значений показателей эффективности, усреднённых по множеству состояний системы.

Задача. В состав АСУ ТП входит два канала связи - основной и резервный. Оценить вероятность обмена информацией в межрегламентный период при следующих допущениях:

1 Контроль технического состояния непрерывный, достоверность контроля абсолютна;

2 Восстановление системы начинается сразу же после возникновения неисправности

l_о = const = 2 * 10 ^{- 4} m_о = const = 5 * 10 ^{- 2}

l_p = const = 4 * 10 ^{- 4} m_p = const = 8 * 10 ^{– 2}

3. Потоки отказов и восстановлений простейшие.

В рассматриваемом случае система может находиться в 4-х состояниях:

1 – оба канала работоспособны;

2 – неработоспособен основной канал;

3 - неработоспособен резервный канал;

4 - оба канала неработоспособны.

Тогда проведение системы будет отображаться следующим графом

В состояниях 1,2,3, где работоспособен хотя бы 1 канал связи, мы сможем получить информацию (если допустить, что вероятность доведения информации Р_{γλ → 1 ).}

Тогда, чтобы оценить вероятность получения информации, нужно найти вероятность того что система находится в одном из первых трех состояний. Опишем граф системой уравнений Колмогорова:

;

;

;

;

.

Если число состояний конечно и из каждого состояния графа можно перейти за то или иное число шагов в любое другое, то существуют предельные вероятности состояний (финальные вероятности), причем их значения не зависят от идеального состояния системы.

С целью определения предельных вероятностей P_j - в системе уравнений (2.18) нужно положить все левые части уравнений равными нулю. Система дифференциальных уравнений переходит в систему линейных алгебраических уравнений, решение которых позволяет вычислить все предельные вероятности P_j.

Найдем финальные возможности состояния системы, если допустить, что:

Р₁(t) = 1; Р₂(t) = 0; Р₃(t) = 0; Р₄(t) = 0