Характеристики потоков требований

Своеобразный класс случайных процессов, играющий в теории массового обслуживания особо важную роль, образуют так называемые потоки событий. Общее понятие потока основано на предположении о том, что интересующее нас событие будет происходить в заранее неизвестные моменты времени t1, t2,... на оси t (рис. 2.1,а).

Если события, о которых идёт речь, являются однородными с точки зрения их сущности и формы проявления, то и поток называется однородным. В практике прикладных исследований, связанных, в частности, с проблемами разработки и эксплуатации АСУ, встречаются, как правило, только однородные потоки.

Если некоторые события следуют друг за другом через строго определённые промежутки времени, то соответствующий поток называется регулярным.

Для случайных потоков характерна непредсказуемость моментов t1, t2,..., в котoрые происходит вполне определённое событие. Для упрощения формального анализа таких потоков разработаны упрощённые модели, которые по мере необходимости можно уточнять.

Важной характеристикой любого потока является число Н событий, происшедших за время t (рис. 1,а). Вообще говоря, Н есть случайная величина с возможными значениями hÎ{0,1,2...}, поэтому приходится рассматривать либо вероятности Р(Н=п),,либо математические ожидания mh и дисперсии Dh, зависящие так или иначе от t.

Пусть при любом τ величина Р(Н=h) зависит только от продолжительности интервала наблюдения t и не зависит от положения этого интервала на оси t. Поток, для которого это условие выполнено, называется стационарным.

Если вероятность поступления требований после произвольного момента времени не зависит от характера поступления требований до этого момента, то говорят об отсутствии последействия.

Ординарными называют такие потоки, для которых практически невозможно одновременное появление двух или более требований. Потоки, обладающие тремя вышеперечисленными свойствами, называются простейшими. Таким образом, простейшие потоки случайных событий (ППСС) - это ординарные стационарные потоки без последействия. Интерес к ППСС вызван двумя обстоятельствами: сравнительной простотой формального описания всех его статистических характеристик и возможностью выразить в нём эффект взаимного наложения многих независимых потоков (тоже стационарных и ординарных).

В простейшем потоке величина Н подчиняется распределению Пуассона, т. е.

(2.1)

где: l - интенсивность потока, равная среднему числу событий в единицу времени. В частности

Следовательно, функция распределения времени Т между соседними событиями (рис. 1,б) есть

.

ППСС называется ещё и стационарным пуассоновским. Важный класс образуют потоки Эрланга, получаемые "просеиванием“ ("прорежением") простейших потоков, т.е. отбрасыванием некоторых событий как несостоявшихся. Если в простейшем ППСС сохраняется каждое k-e событие, а остальные просто не учитываются, то возникает поток Эрланга k-го порядка (k=l,2,...).

Очевидно, что время Тk между любыми соседними событиями потока Эрланга k-го порядка есть сумма k независимых величин Т (рис. 2.1,б), распределённых по показательному закону, поэтому

(2.4)

Приняв k=l, получим f1(t)= l× e-l× t. Следовательно, ППСС можно рассматривать как поток Эрланга 1-го порядка. Числовые характеристики величины Tk находятся суммированием т1=1/l и D1=l/l2, так что mk=k/l, Dk; = k/l2 или mk =1/lk, Dk; = 1/lk2, где lk - интенсивность потока Эрланга k - порядка, равная l/k.

Следует обратить внимание на то, что потоки Эрланга являются стационарными и ординарными, но обладают последействием, усиливающимся с увеличением k при lk=const.

Дальнейшее изучение свойств потоков связано с анализом произвольных распределений величины Т (рис.2.1,б). Считая некоторый поток стационарным и ординарным, можно предположить, что начало интервала t совпадает с одним из событий (рис. 2.1,в) и при этом условии существует вероятность рн(Н=h|), равная j(t). Оказывается, полная вероятность р(Н= h) попадания h событий на произвольный отрезок t оценивается здесь как

(2.5)

где -интенсивность потока, представляющая собой в данном случае математическое ожидание числа событий, происходящих в единицу времени Т есть F(t)=l -j0(t).

Таким образом, рассматриваемый поток характеризуется параметрами j0(t) (функция Пальма) и jh(t) (функции Пальма-Хинчина, h=1,2,...), выбор которых должен отражать в каждом случае реальности исследуемых процессов. Например, полагая

т.е. прийти к простейшему случаю, обсуждавшемуся выше.

Потоки, определяемые функциями j0(t) и jh(t), называются потоками Пальма. Они обобщают изученные ранее особенности других потоков и служат удобной моделью многих сложных явлений, с которыми сталкиваются исследователи операций и системотехники в практической деятельности.

Поиск по сайту: