Теоретичні передумови до виконання роботи

На рідину, яка знаходиться у циліндричній судині (рис.2.1.) і обертається рівномірно навколо своєї осі з кутовою швидкістю w, окрім об’ємних сил тяжіння діє система відцентрових сил інерції. Завдяки силам тертя стінки судини, що обертається, будуть спочатку уволікати за собою рідину, а через деякий час уся рідина почне обертатися разом з судиною з такою ж самою кутовою швидкістю, і сили тертя зникнуть.

Якщо осі координат скріпити з судиною, яка обертається, то по відношенню до них рідина буде знаходитись у спокої, що дає можливість досліджувати рідину, яка обертається, за допомогою рівняння Ейлера

dp = p (Xdx + Ydy + Zdz), (2.1)

де Х, Y, Z – складові об’ємної сили, віднесені до одиниці маси рідини.

Рис. 2.1. Форма поверхні обертання.

Об’ємна сила в даному випадку буде складатися з двох сил: сили тяжіння і відцентрової сили. Тому її складові також будуть являти собою суми проекцій цих сил на координатні осі, а саме:

X = 0 + w²x; Y = 0 + w²y i Z = -g + 0. (2.2)

Підставляючи співвідношення (2.2) в (2.1) для точки К, отримаємо

dp_K = r (w²xdx+ w²ydy - gdz),(2.3)

що після інтегрування дає

(2.4)

Значення сталої інтегрування С знайдемо з умови, що в точці 0 з координатами x=y=z=0 р_К=р₀ і тоді С=р₀. З урахуванням останнього рівняння (2.4) запишеться так

(2.5)

Це рівняння виражає закон розподілу тиску в рідини, яка розглядається. Користуючись цим рівнянням, можна знайти поверхню рівного тиску (р_К=const) і вільну поверхню рідини, що характеризується рівністю р_К=р₀ і являє собою параболоїд обертання; рівняння її буде:

(2.6)

або, якщо врахувати, що x²+y²=z², то, вирішивши (2.6) відносно z, отримаємо рівняння, за яким легше побудувати параболу АОВ:

(2.7)

При r=R (де R – радіус внутрішньої поверхні циліндричної судини) z=Н (висота меніска). Виміривши дослідним шляхом величину Н, по (2.7) можна визначити кутову швидкість w і відповідно знайти частоту обертання циліндричної судини з рідиною за рівняннями

і (2.8)

Поиск по сайту: