Производная функции, её геометрический и физический смысл

Любое изменение независимой переменной x равное разности называется приращением этой переменной.

Разность называется приращением функции на отрезке или где .

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

Нахождение производной y=f(x) называется дифференцированием этой функции.

Если функция имеет производную в точке , то говорят, что она дифференцируема в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Пример 1. Пользуясь определением, найти производную функции .

Решение:

Производные основных элементарных функций вычисляются по формулам, приведенным в таблице.

1. ; 7. ; 13. ;

2. ; 8. ; 14. ;

3. ; 9. ; 15. ;

4. ; 10. ; 15. .

5. ; 11. ;

6. ; 12. ;

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Производная функции, её геометрический и физический смысл. Стр.1

Теорема (связь непрерывности функции с дифференцируемостью). Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке.

Следствие. Если функция f (x) терпит разрыв в точке х, то производная в этой точке не существует.

Непрерывность функции является необходимым условием для ее дифференцируемости. Но непрерывность не является достаточным условием, так как существуют непрерывные функции, не дифференцируемые в точке непрерывности.

Поиск по сайту: